Часто бывает необходимо знать среднюю скдрость при равноускоренном движении. Как ее вычислить? Мы знаем, что
$s = v_{ср}t$. (1)
Но, с другой стороны, как мы видели (см. § 17),
$s = \frac{v_{0} + v }{2}$. (2)
Сравнивая эти формулы, получим:
$v_{ср} = \frac{v_{0} + v }{2}$. (3)
Средняя скорость при равноускоренном движении равна полусумме начальной и конечной скорости.
Такое простое выражение для средней скорости получается благодаря тому, что график скорости - это прямая линия, т. е. скорость и время связаны линейной зависимостью.
Иногда бывает нужно вычислить перемещение тела, движущегося равноускоренно, когда неизвестно, сколько времени протекло от начала движения, но известны значения начальной и конечной скорости тела. Формулу, позволяющую вычислить перемещение, можно получить из формулы (2) и формулы
$v = v_{0} + at$. (4)
Найдем из последней формулы значение $t$
$t = \frac{v-v_{0} }{a}$
и подставим его в формулу (2). Получаем:
$s = \frac{v + v_{0} }{2} \frac{v - v_{0} }{a} = \frac{(v + v_{0} )(v - v_{0} )}{2a}$.
Отсюда $s = \frac{v^{2} - v_{0}^{2} }{2a}$. (5)
Мы получили, таким образом, формулу, позволяющую вычислить перемещение, если известны начальная и конечная скорость и ускорение.
Пользуясь формулой (5), можно также найти значение скорости $v$ тела в любой точке, через которую проходит тело. Из формулы (5) следует:
$v^{2} - v_{0}^{2} = 2as$,
или $v^{2} = v_{0}^{2} + 2as$.
Откуда $| v | = \sqrt{v_{0}^{2} + 2as }$, (6)
Если начальная скорость тела $v_{0}$ равна нулю, то
$s = \frac{v^{2} }{2a}, |v| = \sqrt{2as}$.
Задача. При подходе к станции машинист выключил двигатель локомотива, после чего движение происходило с постоянным ускорением, равным $0,1 м/сек^{2}$. Какое перемещение поезд совершил до остановки, если в момент выключения двигателя скорость поезда была 72 км/ч? Через сколько времени поезд остановился?
Решение. Направим ось $X$ так же, как направлена скорость поезда $\vec{v}_{0}$. Следовательно, его ускорение будет направлено противоположно оси. За начало отсчета времени мы примем момент выключения двигателя, а за начало отсчета координат - точку, в которой двигатель был выключен. Перемещение, отсчитанное от этой точки, вычисляем по формуле
$s= \frac{v^{2} - v_{0}^{2} }{2a}$.
Подставляя в эту формулу
$v_{0} = 72 \frac{км}{ч} = 20 \frac{м}{сек}, v = 0$ и $a = - 0,1 \frac{м}{сек}$,
получаем:
$s = \frac{- \left ( 20 \frac{м}{сек} \right )^{2} }{- 2 \cdot 0,1 \frac{м}{сек^{2} } } = \frac{400}{0,2} м = 2000 м$.
Время, протекшее до остановки, находим но формуле
$v = v_{0} - | \vec{a} | t$.
Так как $v = 0$, то
$t = \frac{20 \frac{м}{сек}}{0,1 \frac{м}{ сек^{2} } } = 200 сек = 3 мин 20 сек$.
Поезд остановился через 3 мин 20 сек после выключения двигателя в 2 км от места выключения.