Сложная функция
Обратная функция
Взаимно обратные функции
Понятие сложной функции, или функции от функции, определяется следующим образом. Пусть $u = \phi(x)$ — некоторая функция от $x$; рассмотрим другую функцию $y = f(u)$ такую, чтобы ее область определения совпадала или хотя бы имела общую часть с областью значений функции $u = \phi(x)$. Тогда можно рассматривать $y = f(u) = f(\phi(x))$ как функцию от $x$: задание $x$ определяет $u = \phi(x)$, а значение $u$, если оно попадет в область определения функции $y = f(u)$, определит $y$. Таким образом, в конечном счете заданием $x$ определяется значение $y$, т. е. $y$ становится функцией $x$. Заданная таким способом функция
$y = f(u) = f(\phi(x)) = F(x)$
называется сложной функцией от $x$ (заданной через посредство промежуточного аргумента $u$).
Пример. Функция $y = \sqrt{\sin x}$ естественно представляется как сложная функция так: $y = \sqrt{u}, u = \sin x$.
Схематически сущность понятия сложной функции поясняется рис.1
рис.1
Следует заметить, что термин «сложная функция» указывает на способ задания этой функции, а не на какие-либо ее особые свойства. Любую функцию при желании можно представить как сложную функцию. Например, для функции $y=x$ можно записать $y = \sqrt[3]{x^{3}}x$ или
$y \sqrt[3]{u}, u =x^{3}$,
т. е. представить ее как сложную функцию.
Обратная функция
рис.2
Рассмотрим функцию $y = f(x)$, областью определения которой служит, например, сегмент $[a, b]$ (рис.2), а областью изменения — сегмент $[c, d]$. Функция $y = f(x)$ ставит каждой точке сегмента $[a, b]$ в соответствие некоторую точку сегмента $[c, d]$. Для изображенной на рис. функции (благодаря тому, что она монотонна) можно установить и обратное соответствие: каждому значению $y_{0}$ из сегмента $[c, d]$ соответствует единственное значение $x_{0}$ из сегмента $[a, b]$ такое, что $y_{0} = f(x_{0})$. Тем самым $x$ можно рассматривать как функцию от $y$ с областью определения $[c, d]$ и областью изменения $[a, b]$. Функцию $x = g(y)$ назовем обратной по отношению к функции $y=f(x)$ (можно эти две функции назвать взаимно обратными).
При схематическом изображении взаимно обратные функции $f$ и $g$ представятся стрелками, как показано на рис. 3. При этом, однако, существенно, чтобы данному $y$ могло отвечать лишь одно значение $x$ такое, что $y = f(x)$, тогда мы и пишем: $x = g(y)$. Записи $y = f(x)$ и $x = g(y)$ имеют здесь равнозначный смысл: $x = g(y)$ в том и только в том случае, если $y = f(x)$.
рис.3
Поэтому пары чисел $(x, y)$, определяемые любым из двух соотношений $y = f(x)$ и $x = g(y)$, будут одними и теми же. Это означает, что графики функций $y = f(x)$ и $x = g(y)$ совпадают. Первая из этих функций имеет своим аргументом переменную $x$, изменяющуюся на сегменте $[a,b]$, вторая — переменную $y$ с областью изменения аргумента $[c, d]$. Следует заметить, что во втором случае мы значения аргумента изображаем на оси ординат, а значения функции — на оси абсцисс. Такое изображение является непривычным и потому менее удобным. Представим себе, что произойдет, если теперь и для обратной функции $x = g(y)$ мы станем значения аргумента обозначать через $x$ и изображать на оси $Ox$, а значения функции будем обозначать через $y$ и изображать на оси ординат (напомним, что мы условились обозначать для разных функций разными буквами законы соответствия, символизируемые здесь буквами $f$ и $g$; зависимые же и независимые переменные для разных функций допустимо обозначать одинаково). При таком изменении обозначений запись обратной по отношению к $y = f(x)$ функции будет уже иметь вид $y = g(x)$.
рис.4
Теперь график функции $y = g(x)$ будет получаться из графика $y = f(x)$ (или $x = g(y)$) с помощью преобразования зеркальной симметрии относительно биссектрисы первого — третьего координатных углов (рис. 4). В самом деле, пусть точка $(x_{0}, y_{0})$ лежит на графике данной функции; тогда точка $(y_{0}, x_{0})$ с переставленными координатами должна лежать на графике обратной функции. Но такие две точки расположены симметрично относительно указанной биссектрисы, а отсюда и следует наше утверждение: графики двух взаимно обратных функций расположены симметрично относительно биссектрисы I — III координатных углов.
Пример. Найти функцию, обратную по отношению к функции $y = 4 \sqrt[3]{x} – 1$.
Решение. Из равенства, определяющего данную функцию, выразим $x$ через $y$:
$4 \sqrt[3]{x} = y+1, \sqrt[3]{x} = \frac{y+1}{4}, x = \frac{(y+1)^{3}}{64}$.
В последнем равенстве поменяем местами $x$ и $y$ и получим выражение для функции
$y = \frac{(x+1)^{3}}{64}$
обратной по отношению к данной функции.
Внесем некоторые уточнения в понятие обратной функции. Мы начали рассматривать вопрос об обратной функции на примере функции, заданной графиком на рис. 2. Эта функция монотонна всюду в области определения. Именно этим обусловлен тот факт, что каждой точке $y_{0}$ из сегмента $[c, d]$ функция $x = g(y)$ ставит в соответствие только одну точку $x_{0}$ из сегмента $[a, b]$. Но для функции, не являющейся монотонной, это может не выполняться. В самом деле, на рис. 5 на сегменте $[a, b]$ показан график немонотонной функции $y = f(x)$. По этой причине имеются значения $y$, которым соответствует не единственная точка сегмента $[a, b]$; так, точке $y_{0}$ отвечают три точки $x_{0}, x_{1}, x_{2}$ такие, что $y_{0} = f(x_{0}), y_{0} = f(x_{1}), y_{0} = f(x_{2})$. В силу этого функция $y = f(x)$, рассматриваемая на сегменте $[a, b]$, не имеет обратной функции, если, конечно, не обобщать понятие функции, вводя «многозначные функции». Если наряду с функцией $f(x)$, определенной на сегменте $[a, b]$, рассматривать функцию, определенную только на интервале монотонности функции $f(x)$ (например, $[a, c], [c, d]$ или $[d, b]$) и совпадающую с $f(x)$ на этом интервале, то у этой новой функции уже будет существовать обратная функция.
рис.5