1. Рассмотрим сначала частный случай, когда материальная точка движется вдоль прямой линии. Примем эту прямую за координатную ось $X$, поместив начало координат $O$ в какой-то произвольной точке ее (рис.). Положение материальной точки в рассматриваемом случае определяется одной координатой:
$x = x(t)$. (1)
Пусть в какой-то фиксированный момент времени $t$ материальная точка находится в положении $A_{1}$. В этот момент ее координата равна $x_{1} = x (t)$. В более поздний момент времени материальная точка переместится в положение $A_{2}$ с координатой $x_{2} = x (t + \Delta t)$. За время $\Delta t$ материальная точка проходит путь $\Delta x = x_{2} - x_{1} = x(t + \Delta t) - x(t)$. Он считается положительным, если перемещение совершается вправо, и отрицательным, если оно происходит влево. Отношение пройденного пути $\Delta x$ к промежутку времени $\Delta t$ называется средней скоростью материальной точки за время $\Delta t$ или, точнее, за время между $t$ и $t + \Delta t$. Таким образом, по определению, средняя скорость равна
$v_{ср} = \frac{ \Delta x}{ \Delta t} = \frac{x(t + \Delta t) - x(t)}{ \Delta t}$. (2)
Такое определение средней скорости имеет смысл для любых значений $\Delta t$. Надо исключить только значение $\Delta t = 0$, так как в этом случае для средней скорости мы получили бы выражение $\frac{0}{0}$, которое само по себе не имеет никакого смысла. Однако ничто не мешает брать промежуток времени $\Delta t$ как угодно малым, но отличным от нуля. Вообще говоря, средняя скорость зависит не только от $t$ но и от $\Delta t$. Будем теперь, оставляя момент времени $t$ неизменным, брать промежуток времени $\Delta t$ все меньше и меньше, устремляя его к нулю. Тогда будет стремиться к нулю и проходимый путь $\Delta x$. Отношение же $\frac{ \Delta x}{ \Delta t}$ при этом, как показывает опыт, будет стремиться к вполне определенному пределу, который может зависеть только от $t$, но уже не будет зависеть от $\Delta t$. Этот предел называется истинной или мгновенной скоростью материальной точки в момент времени $t$:
$v = lim_{ \Delta t \rightarrow 0} \frac{ \Delta x}{ \Delta t} = lim_{ \Delta t \rightarrow 0} \frac{x(t + \Delta t) - x(t)}{ \Delta t}$. (3)
Пределы типа (3) встречаются в самых разнообразных вопросах математики и ее приложениях. В математике предел, определяемый формулой (3), называется производной функции $x(t)$ по аргументу $t$. Производная по времени обозначается символом $\dot{x}(t)$ или $\frac{dx}{dt}$. Таким образом, по определению
$\dot{x} \equiv \frac{dx}{dt} = lim_{ \Delta t \rightarrow 0} \frac{ \Delta x}{ \Delta t}$. (4)
Понятие производной является основным понятием дифференциального исчисления. Используя это понятие, можно сказать, что истинная или мгновенная скорость $v$ есть производная координаты х по времени, или производная пройденного пути $s$ по времени:
$v = \dot{x} = \frac{dx}{dt} = \frac{ds}{dt}$. (5)
Скорость материальной точки, вообще говоря, является функцией времени: $v = v(t)$. Производная скорости по времени называется ускорением материальной точки. Ускорение мы обозначаем через $a$. Таким образом, по определению ускорения
$a = \frac{dv}{dt} = \dot{v}(t)$, (6)
или
$a = lim_{ \Delta t \rightarrow 0} \frac{ \Delta v}{ \Delta t} = lim_{ \Delta t \rightarrow 0} \frac{v(t + \Delta t) - v(t)}{ \Delta t}$. (7)
Производная (6) называется также второй производной координаты $x$ по времени и обозначается символами
$a = ddot{x} \equiv \frac{d^{2}x }{dt^{2} }$. (8)
В существовании первой и второй производных координаты по времени в механике, как и во всех аналогичных вопросах физики, мы убеждаемся не путем логических рассуждений, а опытным путем.
2. Рассмотрим простейшие примеры.
Пример 1.
$a = const$, т. е. координата $x$ остается постоянной во времени. В этом случае материальная точка неподвижна, приращение координаты $\Delta x$ равно нулю. Равны нулю также средняя и истинная скорости точки: $v = \dot{x} = 0$. Вообще, производная всякой постоянной величины равна нулю.
Пример 2.
$x = Bt +C$, где $B$ и $C$ - постоянные коэффициенты. В этом случае говорят, что координата $x$ является линейной функцией времени $t$. Очевидно,
$x + \Delta x = B(t + \Delta t) + C = (Bt + C) + B \Delta t, \Delta x = B \Delta t, v_{ср} = \frac{ \Delta x}{ \Delta t} = B$.
Средняя скорость постоянна и равна $B$. Поэтому истинная скорость также постоянна и равна средней скорости:
$v = \frac{dx}{dt} = v_{ср} = B$.
Движение с постоянной скоростью называется равномерным. Обозначим посредством $x_{0}$ значение координаты $x$ в начальный момент времени $t = 0$. Величина $x_{0}$ называется начальной координатой и, очевидно, равна $x_{0} = C$. Пройденный путь $s$ определяется приращением координаты: $s= x - x_{0} = Bt$, или
$s = vt$.
Пример 3.
$x = At^{2} + Bt + C$, где $A, B$ и $C$ - постоянные коэффициенты. В этом случае говорят, что координата $x$ является квадратичной функцией времени $t$. Очевидно,
$x + \Delta x = A (t + \Delta t)^{2} + B(t + \Delta t) + C = (At^{2} + Bt + C) + (2At + B) \Delta + A ( \Delta t)^{2}$,
$v_{ср} = \frac{ \Delta x}{ \Delta t} = (2At + B) + A \Delta t$.
Здесь $v_{ср}$ зависит не только от $t$, но и от $\Delta t$. В пределе, когда $\Delta t \rightarrow 0$, член $A \Delta t$ обращается в нуль, и мы получаем следующее выражение для истинной скорости:
$v = 2At + B$.
Истинная скорость является линейной функцией времени $t$, а потому, дифференцируя ее, получаем постоянное значение для ускорения:
$a = \frac{dv}{dt} = 2A$.
Движение с постоянным ускорением называется равноускоренным. Постоянная $A$ равна половине ускорения: $A = \frac{a}{2}$. Выясним теперь физический смысл постоянных $B$ и $C$. При $t = 0$ наши формулы дают $v = B$. Скорость в момент времени $t = 0$ называется начальной скоростью и обозначается посредством $v_{0}$. Мы видим, что постоянная $B$ равна начальной скорости: $B = v_{0}$. Аналогично доказывается, что постоянная $C$ есть начальная координата движущейся точки: $C = x_{0}$. С введением этих величин можно написать
$x = \frac{1}{2}at^{2} + v_{0}t + x_{0}, v = at + v_{0}$.
Пройденный путь равен $s = x - x_{0}$, т. е.
$s = \frac{1}{2}at^{2} + v_{0}t$.
Примерами равноускоренного движения могут служить свободное падение тел и скатывание тела по наклонной плоскости без трения.
3. По аналогии с линейной скоростью и ускорением вводятся угловая скорость и угловое ускорение. Эти понятия относятся к случаю движения материальной точки по окружности. Положение точки $M$ на окружности можно задать углом $\alpha$, который образует радиус-вектор $OM$ с каким-либо неизменным направлением $OX$ (рис.). Производная этого угла по времени
$\omega = \frac{d \alpha }{dt}$
называется угловой скоростью. Вращение называется равномерным, если угловая скорость $\omega$ постоянна. В этом случае $\alpha = \omega t + const$. При равномерном вращении величину $\omega$ называют также угловой частотой вращения. Величина $\nu = \frac{ \omega}{2 \pi}$ дает число оборотов в единицу времени и называется частотой обращения. Величина $T = \frac{1}{ \nu }$ есть продолжительность одного обращения и называется периодом вращения.
Первая производная угловой скорости $\omega$ или вторая производная угла $\alpha$ по времени называется угловым ускорением:
$\dot{ \omega } = \frac{d \omega }{dt} = \frac{d^{2} \alpha }{dt^{2} }$.
Если $s$ означает длину дуги окружности $XM$, то ее производные $v = \frac{ds}{dt}$ и $a = \frac{d^{2}s }{dt^{2} }$ дают линейную скорость и линейное ускорение
при движении точки по окружности. Если $r$ - радиус окружности, то $s = r \alpha$. Дифференцируя это соотношение по времени, находим
$v = \omega t, a = \dot{ \omega}r$.