Рассмотрим пару равенств

$\begin{cases} f (x, y) = 0 \\ \phi (x, y) = 0 \end{cases}$ (1)

левые части которых являются алгебраическими выражениями (функциями) относительно двух переменных $x, у$. Мы скажем, что они составляют систему двух уравнений с двумя неизвестными $x, у$, и будем решать задачу об отыскании всех таких пар значений $x, у$, которые обращают (одновременно) оба уравнения системы в верные числовые равенства. Каждая такая пара значений $x, у$ называется решением системы. Решить систему - значит найти все ее решения. Так как пара чисел $(x, у)$ изображается точкой на координатной плоскости, то точку с координатами $(x, у)$ также называют решением системы (1).

Аналогично, можно систему трех уравнений с тремя неизвестными записывать в виде

$\begin{cases} f (x, y, z) = 0 \\ \phi (x, y, z) = 0 \\ \varphi (x, y, z) = 0 \end{cases}$

(в большинстве задач число уравнений бывает равно числу входящих в них неизвестных, хотя в принципе это не обязательно). Ее решениями служат уже тройки чисел $(x, у, z)$.

Уравнения, составляющие систему, обычно объединяют фигурной скобкой; этим выражается, что они рассматриваются совместно.

Некоторое уравнение $F(x, у) = 0$ называется следствием системы (1), если оно удовлетворяется всеми решениями системы (1). При решении систем из них, как правило, приходится выводить уравнения, являющиеся их следствиями. Например, если даны уравнения (1), то и уравнения, полученные их сложением:

$f (x,y) + \phi (x,y) = 0$

или

$f (x,y) - \phi (x,y) = 0$,

будут их следствиями. На этом основан, в частности, наиболее распространенный метод решения систем уравнений - метод исключения неизвестных. Он состоит в том, чтобы получить уравнение, являющееся следствием системы (1), но уже не содержащее одной из неизвестных, т. е. уравнение с одной неизвестной $x$ (или $у$). Поясним сущность процесса исключения неизвестной примером.

Пусть дана система

$\begin{cases} x^2 + 2y - 2 = 0 \\ x - 3y + 3 = 0 \end{cases}$ (2)

с двумя неизвестными. Если первое уравнение умножить на 3, а второе на 2 и сложить полученные уравнения, то получим уравнение

$3x^{2} + 2x = 0$, или $x(3x + 2) = 0$, (3)

не содержащее $y$. Оно будет следствием системы (2); действительно, если точка ($x_{0}, y_{0}$) удовлетворяет обоим уравнениям (2), то она удовлетворит и уравнению (3). Фактически это означает, что абсцисса этой точки $x_{0}$ удовлетворяет уравнению (3) (так как ординаты $y$ уравнение не содержит).

В данном простом примере видно, что уравнение (3) имеет два решения: $x_1 = 0$ и $x_2 = - \frac{2}{3}$. При $x = 0$ оба уравнения (2) дают $у = 1$, а при $x = - \frac{2}{3}$ получаем $y = \frac{7}{9}$. Решения системы (2) - точки $(0, 1)$ и $\left (- \frac{2}{3}, \frac{7}{9} \right )$.