В общем случае система двух уравнений с двумя неизвестными при условии, что одно из уравнений - второй степени, а второе-линейное, имеет следующий вид:
$\begin{cases} a_{1}x^{2} + b_{1} xy + c_{1} y^{2} + d_{1} x + e_{1}y + f_{1} = 0 \\ d_{2} x + e_{2} y + f_{2} = 0 \end{cases}$. (1)
Для отыскания решений системы (1) можно из второго ее уравнения выразить одну неизвестную через другую (например, $x$ через $y$) и это выражение подставить в первое уравнение, которое после этого сведется к квадратному уравнению (в отмеченном случае относительно $y$). Решив его, найдем два значения этой неизвестной ($y_{1}$ и $y_{2}$) и по ним определим два соответствующих значения ($x_{1}$ и $x_{2}$) второй неизвестной.
Рассмотрим систему вида
$\begin{cases} x + y = a \\ xy = b \end{cases}$. (2)
Здесь требуется найти неизвестные по заданным их сумме и произведению. Станем искать эти неизвестные как корни одного квадратного уравнения. В силу теоремы Виета такое квадратное уравнение составляется в
$z^{2} - az + b = 0$ (3)
(сумма его корней равна $a$, произведение равно $b$). Если теперь обозначим корни уравнения (3) через $z_{1}, z_{2}$, то решения системы (2) получим в виде
$\begin{cases} x_{1} = z_{1} \\ y_{1} = z_{2} \end{cases}$, $\begin{cases} x_{2} = z_{2} \\ y_{2} = z_{1} \end{cases}$.
К этому же случаю сводятся и системы вида
$\begin{cases} ax + by = c \\ xy = d \end{cases}$. (4)
Действительно, примем за новые неизвестные $u = ax$ и $v = by$. Ясно, что система (4) равносильна системе вида
$ax + by = c$,
$ax \cdot by = abd$
и сводится к системе типа (2)
$u + v = c$,
$uv = abd$
для $u = ax, v = by$.