В некоторых случаях данный многочлен может быть представлен как произведение одночлена на многочлен или как произведение двух многочленов. В первом случае говорят, что за знак скобок можно вынести общий множитель, во втором,— что многочлен разлагается на множители. Нам известны некоторые приемы разложения многочлена на множители, в том числе метод группировки и применение формул сокращенного умножения. Ограничимся разбором нескольких типичных примеров (общего универсального метода, чтобы узнать, разлагается ли многочлен на множители и найти их, не имеется).

Пример 1. Разложить на множители $x^{2} + 2xy + 2yz – z^{3}$.
Решение. Производим группировку слагаемых:
$(x^{2}-z^{2})+(2xy+2yz) = (x+z)(x-z) +2y(x+z) = (x+z)(x-z+2y)$.
Мы применили здесь формулу разности квадратов и прием вынесения общего множителя за скобку.

Пример 2. Разложить на множители:
а) $x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4}$; б) $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc$.
Решение, а) Добавим и вычтем выражение $x^{2}y^{2}$; тогда получим
$x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4} = x^{4} + 2x^{2}y^{2} + y^{4} – x^{2}y^{2} = (x^{2}+y^{2})^{2} – (xy)^{2} = (x^{2} + y^{2} - xy)(x^{2} + y^{2} + xy)$
(применены формулы квадрата суммы, а затем разности квадратов). Окончательно:
$x^{4} + x^{2}y^{2} + y^{4} = (x^{2} + y^{2} - xy)(x^{2} + y^{2} + xy)$.

б) Добавим к нашему выражению и вычтем выражение $3ab(a + b)$, чтобы получить куб суммы по формуле:
$a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3abc = a^{3} + b^{3} + 3ab(a+b) + c^{3} – 3abc – 3ab(a+b) = (a+b)^{3} + c^{3} – 3ab (c+a+b) = (a+b+c)[(a+b)^{2} – (a+b)c +c^{2}] – 3ab(a+b+c) = [(a+b+c)(a^{2}+2ab+b^{2} – ac – bc + c^{2} – 3ab)] = (a+b+c)(a^{2} + b^{2} + c^{2} –ab – ac -bc)$.
В некоторых случаях разложение на множители не удается в действительной области, но может быть осуществлено в комплексной области. Так, например, $a^{2} + b^{2}$ нельзя разложить на действительные множители, но
$a^{2} + b^{2} = a^{2} – (bi)^{2} = (a+bi)(a-bi)$.

Сумма четвертых степеней $a^{4} + b^{4}$ может быть разложена на множители так:

$a^{4} + b^{4} = (a^{2} + b^{2}i)(a^{2} – b^{2}i)$,
но она же разлагается и на действительные множители:
$a^{4} + b^{4} = a^{4} + b^{4} + 2a^{2}b^{2} – 2a^{2}b^{2} = (a^{2} + b^{2})^{2} – (sqrt{2} ab)^{2} = (a^{2} + b^{2} + ab \sqrt{2})(a^{2} + b^{2} – ab \sqrt{2})$.