Разделы 
Дополнительно
Расстояние между двумя точками на плоскости.
Решение. На рис. изображен случай, когда $x_{2} > x_{1} > 0$ и $y_{2} > y_{1} > 0$. Мы же будем вести рассуждения, справедливые для любого случая расположения точек $A$ и $B$. Заметим, что $AC = DE = |x_{2} - x_{1}|$ и $BC = |y_{2} - y_{1}|$. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $ACB$ имеем
${AB}^{2} = {AC}^{2} + {BC}^{2}$,
или ${AB}^{2} = |x_{2} - x_{1}|^{2} + |y_{2} - y_{1}|^{2}$. Так как $|x_{2} - x_{1}|^{2} = (x_{2} - x_{1})^{2}$ и $|y_{2} - y_{1}|^{2} = (y_{2} - y_{1})^{2}$, то
${AB}^{2} = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$,
откуда имеем
${AB}^{2} = \sqrt {(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}$. (1)
Пример 1. Найти расстояние между точками $A(7, -2)$ и $B(4, -6)$.
Решение. По формуле (1) имеем
$AB = \sqrt{(4 - 7)^{2} + (- 6 + 2)^{2}} = \sqrt{25} = 5$.
Решение. По формуле (1) имеем
$AB = \sqrt{(4 - 7)^{2} + (- 6 + 2)^{2}} = \sqrt{25} = 5$.
Пример 2. Найти расстояние между точками $C(2, -1)$ и $D(3, 1)$.
Решение. По формуле (1) имеем
$CD = \sqrt{(3-2)^{2} + (1 + 1)^{2}} = \sqrt{5}$.
Решение. По формуле (1) имеем
$CD = \sqrt{(3-2)^{2} + (1 + 1)^{2}} = \sqrt{5}$.
