Алгебраические выражения, в записи которых используются не только четыре рациональных действия, но также знаки радикала (из буквенных выражений), мы называем иррациональными алгебраическими выражениями. Таковы, например, выражения

$\sqrt{\frac{a}{a+1}} + \sqrt{\frac{a+1}{a}}; \frac{ab(x+y)}{\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y}}; \sqrt{a + \sqrt{b-2x}}$.

При определении о.д.з. иррациональных алгебраических выражений следует учитывать, что выражения, находящиеся под знаком радикала четной степени, не должны быть отрицательными, При отыскании числовых значений выражения при данных буквенных значениях параметров корни четной степени понимаются в арифметическом смысле.

Пример 1. Найти о.д.з. выражения
$\sqrt{2x-a} + \sqrt{x+4a}$
и его значение при $x = 5, a = 1$.
Решение. О.д.з. определяем из условий $2x – a \geq 0, x + 4a \geq 0$. Находим, что о.д.з. определяется неравенствами $x \geq a/2, x \geq – 4a $. При вычислении значения в заданной точке $x =5, a=1$ получаем
$\left . \sqrt{2x-a} + \sqrt{x+4a} \right |_{x=5,a=1} = \sqrt{10-1} + \sqrt{5+4} = 3 + 3 = 6$.
При преобразовании иррациональных алгебраических выражений используются все правила действий с корнями (Корни), Рассмотрим сначала возможные упрощения выражения типа «корень из одночлена» или «корень из частного двух одночленов». Будем говорить, что корень приведен к простейшей форме, если:
1) он не содержит иррациональности в знаменателе, 2) в нем нельзя сократить его показатель с показателем подкоренного выражения и, наконец, 3) все возможные множители вынесены из-под корня. Всякий данный корень может быть приведен к простейшей форме, т. е. заменен тождественно равным ему, но таким, который отвечает всем трем перечисленным условиям.

Пример 2. Привести к простейшей форме следующие корни ($a>0, b> 0$):
а)$\sqrt[6]{a^{9}b^{15}}$;б)$\sqrt[10]{\frac{a^{16}}{b^{2}}}$;в)$\sqrt{\sqrt[3]{256 a^{2}b^{14}}}$.
Решение. а) Сокращаем на 3 показатель корня и показатель степеней каждого из сомножителей подкоренного выражения
$\sqrt[6]{a^{9}b^{15}} = \sqrt{a^{3}b^{5}}$.
Выносим из-под знака корня множители $a$ и $b^{2}$
$\sqrt[6]{a^{9}b^{15}} = ab^{2} \sqrt{ab}$.
б)$\sqrt[10]{\frac{a^{16}}{b^{2}}} = \sqrt[5]{\frac{a^{8}}{b}} = \sqrt[5]{\frac{a^{5}a^{3}b^{4}}{b^{5}}} = \frac{a}{b} \sqrt[5]{a^{3}b^{4}}$;
в)$\sqrt{\sqrt[3]{256 a^{2}b^{14}}} = \sqrt[6]{2^{8}a^{2}b^{14}} = \sqrt[3]{2^{4}ab^{7}} = \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2ab^{6}b} = 2b^{2} \sqrt[3]{2ab}$.При сложении и вычитании подобных корней все они приводятся к простейшей форме, а затем корень выносится за скобки.

Пример 3. Произвести указанные действия:
$\sqrt[4]{81 a^{5}b} - \sqrt[8]{256 a^{2}b^{10}} - \sqrt{a^{2}b \sqrt{\frac{a}{b}}}, a \geq 0, b> 0$.
Решение. Приведем каждый из корней к простейшей форме:
$\sqrt[4]{81a^{5}b} = 3a \sqrt[4]{ab}, \sqrt[8]{256a^{2}b^{10}} = \sqrt[4]{16ab^{5}} = 2b \sqrt[4]{ab}, \sqrt{a^{2}b \sqrt{ \frac{a}{b}}} = a \sqrt{ \sqrt{ab}} = a \sqrt[4]{ab}$.
Теперь находим (все корни оказались подобными)
$\sqrt[4]{81a^{5}b} - \sqrt[8]{256a^{2}b^{10}} - \sqrt{a^{2}b \sqrt{ \frac{a}{b}}} = 3a \sqrt[4]{ab} – 2b \sqrt[4]{ab} – a \sqrt[4]{ab} = (3a – 2b - a) \sqrt[4]{ab} = 2(a-b) \sqrt[4]{ab}$.
При вынесении сомножителей из-под знака корня четной степени необходимо помнить, что корень понимается в арифметическом смысле. Так, если знаки $a, b$ не указаны, то следует писать не $\sqrt{a^{3}b^{5}} = ab^{2} \sqrt{ab}$, а $\sqrt{a^{3}b^{5}} = |a|b^{2} \sqrt{ab}$. Здесь о.д.з. состоит не только из значений $a \geq 0, b \geq 0$, но и из значений $a < 0, b < 0$. Поэтому
$\sqrt{a^{3}b^{5}} = |a|b^{2} \sqrt{ab} = \begin{cases} ab^{2} \sqrt{ab} & (a \geq 0), \\ -ab^{2}\sqrt{ab} & (a < 0). \end{cases}$

Пример 4. Упростить выражение
$\sqrt{x^{2} + 4xy + 4y^{2}} - \sqrt{x^{2} – 4xy + 4y^{2}}, x \geq 0, y \geq 0$.
Находим
$\sqrt{x^{2} + 4xy + 4y^{2}} - \sqrt{x^{2} – 4xy + 4y^{2}} = \sqrt{(x+2y)^{2}} - \sqrt{(x-2y)^{2}} = x+2y - |x-2y|$.
Возможны следующие случаи:
1) $x \geq 2y$; тогда $x+2y - |x-2y| = x + 2y – x + 2y = 4y$,
2) $x < 2y$, тогда $x+2y - |x-2y| = x + 2y +x – 2y = 2x$.
Итак,
$\sqrt{x^{2}+4xy + 4y^{2}} - \sqrt{x^{2} – 4xy + 4y^{2}} = \begin{cases} 4y& (x \geq 2y \geq 0), \\ 2x & (2y \geq x \geq 0). \end{cases}$
Если не предполагать заранее, что $x \geq0, y \geq 0$, то решение примера еще усложнится, так как придется записать ответ в общей форме:
$\sqrt{x^{2} + 4xy + 4y^{2}} - \sqrt{x^{2} – 4xy + 4y^{2}} = |x+2y| - |x-2y|$,
и затем разбирать четыре возможных случая: 1) $x+2y \geq 0, x-2y \geq 0$, 2) $x + 2y \geq 0, x-2y < 0$; 3) $x+2y < 0, x-2y \geq 0$; 4) $x+2y < 0, x -2y < 0$. Предоставляем завершить этот разбор вам.

В примере, который мы сейчас решали, подкоренные выражения представлялись как точные квадраты некоторых двухчленов очевидным способом. В некоторых случаях такое представление подкоренного выражения производится не столь очевидным образом. Так, иногда можно упростить радикалы вида
$\sqrt{A + B \sqrt{C}}$,
записав $A + B \sqrt{C}$ в виде точного квадрата.

Пример 5. Упростить выражение
$\sqrt{2x^{2} – 1 + 2x \sqrt{x^{2} - 1}}$.
Решение. Подкоренное выражение перепишем в виде
$2x^{2} – 1 + 2x \sqrt{x^{2} - 1} = x^{2} – 1 + 2x \sqrt{x^{2} -1} + x^{2} = (\sqrt{x^{2} - 1} + x)^{2}$.
Теперь имеем
$\sqrt{2x^{2} – 1 + 2x \sqrt{x^{2} - 1}} = |x + \sqrt{x^{2} - 1}|$.
О. д.з. нашего выражения состоит из интервалов $1 \leq x < \infty, - \infty < x \leq -1$. Нетрудно заметить, что $x + \sqrt{x^{2} - 1} > 0$ при $x \geq 1$, а при $x \leq -1 x +\sqrt{x^{2} - 1} < 0$. Поэтому окончательно имеем
$\sqrt{} = \begin{cases} x+\sqrt{x^{2} - 1}& (x \geq 1), \\ -x - \sqrt{x^{2} - 1} & (x \leq - 1) \end{cases}$
Пример 6. Упростить числовые выражения:
1) $\sqrt{3 – 2 \sqrt{2}}$; 2) $\sqrt[3]{10 + 6 \sqrt{3}}$.
Решение. 1) $\sqrt{3 – 2 \sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2} - 1)^{2}} = \sqrt{2} - 1$;
2) $\sqrt[3]{10 + 6 \sqrt{3}} = \sqrt[3]{(\sqrt{3} + 1)^{3}} = \sqrt{3} + 1$.

В последнем случае удается записать подкоренное выражение как точный куб.