Сумма (разность) комплексных чисел
Произведение комплексных чисел
модуль или абсолютная величина комплексного числа
Деление комплексных чисел
Уже в определении комплексных чисел было указано, что действия над ними определяются как действия над алгебраическими двучленами.
Рассмотрим сначала действия сложения и вычитания: под суммой (разностью) комплексных чисел $z_{1} = a + bi, z_{2} = c + di$ понимают такое комплексное число, действительная и мнимая части которого представляют собой соответственно суммы (разности) действительных и мнимых частей данных чисел. Обозначаются сумма и разность обычным образом, как $z_{1} + z_{2}$ и $z_{1} – z_{2}$:
$\begin{cases} z_{1} + z_{2} = (a+c)+(b+d)i & \\
z_{1} - z_{2} = (a-c)+(b-d)i & \\
\end{cases}$ (1)
(в полном согласии с правилами действий над двучленами). Аналогично находится алгебраическая сумма любого числа слагаемых.
Заметим, что при введении обозначения комплексного числа $z = a + bi$ мы, строго говоря, использовали знак сложения «+» не в своем прямом смысле: ведь складывать $a$ и $bi$ мы в этот момент еще не умели. Сейчас, однако, видно, что можно понимать комплексное число $a + bi$ как сумму действительного числа $a = a + 0 \cdot i$ и чисто мнимого $bi = 0 + bi$:
$(a + 0 \cdot i) + (0 + bi) = (a+0) + (0+b)i = a + bi$.
Пример 1. $z_{1} = 2 + 3i, z_{2} = —4 + 7i, z_{3} = 5 - 11i$; вычислить $z_{1} – z_{2} + z_{3}$.
Решение. $z_{1} – z_{2} + z_{3} = [2 -(—4) +5] + [3 – 7 +( -11)] i = 11 — 15i$.
Заметим, что сумма двух сопряженных чисел $z = a + bi$ и $\overline{z} = a – bi$ есть число действительное, а разность - чисто мнимое; в самом деле,
$z + \overline{z} = (a + a) + [b + (—b)]i = 2a$,
$z - \overline{z} = (a - a) + [b - (—b)]i = 2bi$.
Произведение $z_{1}z_{2}$ комплексных чисел $z_{1} = a + bi$ и $z_{2} = c + di$ определяется как произведение двучленов с применением обычного правила раскрытия скобок:
$z_{1}z_{2} = (а + bi)(с + di) = ac + adi + bic + bidi = ac + (ad + bc)i + bdi^{2} = (ac - bd) + (ad + bc)i$. (2)
Пример 2. Вычислить произведение чисел $z_{1} = —2 + 4i, z_{2} = 5 – 3i$.
Решение.
$z_{1}z_{2} = (-2+4i)(5-3i) = [(-2) \cdot 5 – 4 \cdot (-3)] + [(-2) \cdot (-3) + 5 \cdot 4]i = 2 +26i$.
Заметим, что произведение двух сопряженных комплексных чисел есть неотрицательное действительное число; в самом деле,
$z \overline{z} = (a + bi)(a-bi) = [aa - b(-b)] + [а(-b) + ab]i = a^{2} + b^{2}$. (3)
Число $ \sqrt{ z \overline{z}} = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = |z|$ называется модулем или абсолютной величиной комплексного числа $a+bi$.
В частности, когда $b = 0$, число $z = а$ действительное, то $|z| = \sqrt{a^{2} + 0^{2}} = |a|$ — модуль действительного числа, рассматриваемого как частный случай комплексного числа, - есть то же самое, что модуль действительного числа.
Очевидно, что $|\overline{z}| = |z|$. Равенство (3) означает, что произведение сопряженных чисел равно квадрату модуля каждого из них.
Произведение нескольких сомножителей может быть найдено последовательным умножением. Натуральная степень комплексного числа, например $(a + bi)^{2}, (a + bi)^{3}$ и вообще $(a + bi)^{n}$, может быть найдена при помощи формул квадрата суммы, куба суммы и вообще формулы бинома Ньютона. Пру этом удобно использовать общее правило для возведения в любую натуральную степень мнимой единицы $i$. Так как
$i^{1} = i, i^{2} = — 1, i^{3} = —i, i^{4} = l, i^{5} = i^{4} \cdot i = 1 \cdot i = i, \cdots ,$
то при возведении $i$ в любую степень можно, не меняя результата, отбросить от показателя степени слагаемое, кратное четырем. Поэтому для возведения числа $i$ в любую натуральную степень $n$ надо найти остаток при делении $n$ на 4 и возвести $i$ в степень, равную этому остатку.
Пример 3. Найти: а) $i^{98}$; б) $i^{259}$.
Решение, а) Имеем $98 = 4 \cdot 24 + 2$; отсюда $i^{98} = i^{2} = -1;$
б) имеем $259 = 4 \cdot 64 + 3$; отсюда $i^{259} = i^{3} = — i$.
Пример 4. Вычислить $(2 + 3i)^{3}$.
Решение. Пользуемся формулой куба суммы:
$(2 + 3i)^{3} = 2^{3} + 3 \cdot 2^{2} \cdot (3i)^{2} + (3i)^{3} = 8 + 36i — 54 27i = — 46 + 9i$.
Деление комплексных чисел определим как действие, обратное умножению, результат деления назовем частным. Частное от деления $z_{1}$ на $z_{2}$ (предполагается, что $z_{2} \neq 0$) обозначается, как обычно, через $z_{1} / z_{2}$ или $z_{1} : z_{2}$ и, по определению, является таким числом $z$, что $z_{1} = z_{2}z$.
Покажем, что при $z_{2} \neq 0$ существует вполне определенное комплексное число $z = z_{1} / z_{2}$ - частное от деления $z_{1}$ на $z_{2}$. Будем искать неизвестное $z = x + iy$ из условия
$z_{1} = z_{2}z$.
Обозначив $z_{1} = a + bi, z_{2} = c + di$, получим
$a + bi = (c + di)(x + yi) = cx - dy + (dx + cy)i$
и, пользуясь определением равенства комплексных чисел
Комплексные числа. Основные понятия и определения., найдем
$cx-dy=a$,
$dx+xy=b$.
Для искомых чисел $x, y$ получилась система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными. Решая эту систему, найдем (рекомендуется проделать вычисления подробно, пользуясь, например, методом исключения неизвестных или определителями)
$x = \frac{ac+bd}{c^{2}+d^{2}}, y=\frac{bc-ad}{c^{2}+d^{2}}$,
т. е.
$ \frac{a+bi}{c+di} = \frac{ac+bd}{c^{2}+d^{2}} + \frac{bc-ad}{c^{2}+d^{2}} i$ (4)
Так как $z_{2} \neq 0$, то и $c^{2} + d^{2} = |z_{2}|^{2} \neq 0$, т. е. деление выполнимо при любом $z_{2} \neq 0$.
Практически удобней не пользоваться громоздкой формулой (4), а выполнять деление следующим приемом: для отыскания частного $z_{1}/z_{2}$ умножаем числитель и знаменатель дроби на одно
и то же число $\overline{z_{2}}$, (сопряженное с числом $z_{2}$). Получаем дробь $\frac{z_{1} \overline{z_{2}}}{z_{2} \overline{z_{2}}}$, знаменатель которой равен $|z_{2}|^{2}$, т. е. уже является действительным числом.
Пример 5. Разделить $2 + 5i$ на $3 – 4i$.
Решение. $\frac{2+5i}{3-4i} = \frac{(2+5i)(3+4i)}{(3-4i)(3+4i)} = \frac{(6-20)+(8+15)i}{3^{2}+4^{2}} = - \frac{14}{25} + \frac{23}{25} i$.
В дальнейшем нам окажутся полезными следующие соотношения, показывающие, что результат рациональных действий, выполненных над числами, комплексно сопряженными с данными, сам комплексно сопряжен с результатом тех же действий, выполненных над данными числами:
$\overline{z_{1}} + \overline{z_{2}} = \overline{(z_{1}+z_{2})}, \overline{z_{1}} \overline{z_{2}} = \overline{z_{1}z_{2}}, \frac{\overline{z
_{1}}}{\overline{z_{2}}} = \overline{\frac{z_{1}}{z_{2}}}$. (5)
Выведем, например, вторую из этих формул (доказательство первой и третьей проведите сами). Пусть даны
$z_{z} = a + bi, z_{2} = c + di$.
Тогда $\overline{z_{1}} = a - bi, \overline{z_{2}} = c-di$. Находим
$ \overline{z_{1}} \overline{z_{2}} = (a-bi)(c-di) = ac – bd - (bc + ad)i$
и
$ \overline{(z_{1}z_{2})} = \overline{((ac-bd) + (bc+ad)i))((ас—d) + (be + ad) i)} = ac –bd - (bc + ad)i$.
Из сравнения этих результатов и следует требуемое соотношение.
В заключение заметим, что над комплексными числами выполнимы все рациональные действия (кроме деления на нуль), причем в результате снова получаются комплексные числа. Комплексные числа образуют числовое поле — поле комплексных чисел.