Мы рассматривали до сих пор случай, когда на тело действуют две (или больше) силы, векторная сумма которых равна нулю. В этом случае тело может либо покоиться, либо двигаться равномерно. Если тело покоится, то общая работа всех приложенных к нему сил равна нулю. Равна нулю и работа каждой отдельной силы. Если же тело движется равномерно, то общая работа всех сил по-прежнему равна нулю. Но каждая сила в отдельности, если она не перпендикулярна направлению движения, совершает определенную работу - положительную или отрицательную.

Рассмотрим теперь случай, когда равнодействующая всех сил, приложенных к телу, не равна нулю или когда на тело действует только одна сила. В этом случае, как это следует из второго закона Ньютона, тело будет двигаться с ускорением. Скорость тела будет меняться, и работа, совершенная силами в этом случае, не равна нулю, она может быть положительной или отрицательной. Можно ожидать, что между изменением скорости тела и работой, совершенной силами, приложенными к телу, существует какая-то связь. Попытаемся ее установить. Представим себе для простоты рассуждения, что тело движется вдоль прямой линии и равнодействующая сил, приложенных к нему, постоянна по абсолютному значению и направлена по той же прямой. Обозначим эту равнодействующую силу через $\vec{F}$, а проекцию перемещения $\vec{s}$ на направление силы через $s$. Направим координатную ось вдоль направления силы. Тогда $| \vec{F}| = F$ и, как было показано в § 75, совершаемая работа равна $A = Fs$. Направим координатную ось вдоль перемещения тела. Тогда, как было показано в параграфе "Более общее определение работы", работа $A$, совершаемая равнодействующей, равна: $A = Fs$. Если направления силы и перемещения совпадают, то $s$ положительна и работа положительна. Если равнодействующая $\vec{F}$ направлена противоположно направлению движения тела, то ее работа отрицательна. Сила $\vec{F}$ сообщает телу ускорение $\vec{a}$. По второму закону Ньютона $\vec{F} = m \vec{a}$. С другой стороны, во второй главе мы нашли, что при прямолинейном равномерно ускоренном движении

$s = \frac{ v_{2}^{2} - v_{1}^{2} }{2a}$.

Отсюда следует, что

$A = Fs = ma \frac{v_{2}^{2} - v_{1}^{2} }{2a} = \frac{mv_{2}^{2} }{2} - \frac{mv_{1}^{2} }{2}$. (1)

Здесь $v_{1}$ - начальная скорость тела, т.е. его скорость в начале перемещения $\vec{s}$; $v_{2}$ - его скорость в конце этого участка.

Мы получили формулу, связывающую работу, совершенную силой $\vec{F}$, с изменением скорости (точнее, квадрата скорости) тела, вызванным этой силой.



Работа силы равна изменению кинетической энергии тела.

Можно показать, что формула (1), выведенная нами для силы, постоянной по величине и направленной вдоль движения, справедлива и в тех случаях, когда сила изменяется, а ее направление не совпадает с направлением перемещения.

Формула (1) замечательна во многих отношениях.

Во-первых, из нее следует, что работа силы, действующей на тело, зависит только от начального и конечного значений скорости тела и не зависит от того, с какой скоростью оно двигалось в других точках.

Во-вторых, из формулы (1) видно, что ее правая часть может быть как положительной, так и отрицательной в зависимости от того, возрастает или убывает скорость тела. Если скорость тела возрастает ($v_{2} > v_{1}$), то правая часть формулы (1) положительна, следовательно, и работа $A > 0$. Так и должно быть потому, что для увеличения скорости тела (по абсолютной величине) действующая на него сила должна быть направлена в ту же сторону, что и перемещение. Наоборот, когда скорость тела уменьшается ($v_{2} < v_{1}$), правая часть формулы (1) принимает отрицательное значение (сила направлена противоположно перемещению),

Если в начальной точке скорость тела $v_{1}$ равна нулю, выражение для работы принимает вид:

$A = \frac{mv_{2}^{2} }{2}$. (2)

Формула (2) позволяет вычислить работу, которую нужно совершить, чтобы покоящемуся телу сообщить скорость, равную $v_{2}$.

Очевидно обратное: для остановки тела, движущегося со скоростью $v$, необходимо совершить работу

$A = - \frac{mv^{2}}{2}$.

Формула

$Fs = \frac{mv_{2}^{2} }{2} - \frac{mv_{1}^{2} }{2}$

очень напоминает формулу, полученную в предыдущей главе (см. § 59), устанавливающую связь между импульсом силы $\vec{F}t$ и изменением импульса тела $m \vec{v}$:

$\vec{F}t = m \vec{v}_{2} - m \vec{v}_{1}$. (3)

Действительно, левая часть формулы (3) отличается от левой части формулы (1) тем, что в иен сила $\vec{F}$ умножается не на перемещение, совершаемое телом, а на время $t$ действия силы. В правой части формулы (3) стоит произведение массы тела на его скорость (импульс) вместо половины произведения массы тела на квадрат его скорости, фигурирующее в правой части формулы (1). Обе эти формулы являются следствием законов Ныотопа (из которых они были выведены), а величины $\frac{mv^{2} }{2}$ и $m \vec{v}$ являются характеристиками движения.

Но между формулами (1) и (3) имеется п принципиальное различие: формула (1) устанавливает езязь между скалярными величинами, тогда как формула (3) - эго векторная формула.