Если имеется график функции $y = f(x)$, то нетрудно построить графики функций $у = - f(x), y = f(-x), у = - f(- x)$. Эти графики будут симметричны с графиком функции $y = f(x)$ относительно оси $Ox$, оси $Oy$, начала координат соответственно. Рассмотрим каждый случай отдельно.

1) $y = - f (x)$; точки этого графика будут симметричны с точками графика функции $y = f(x)$ относительно оси $Ox$ (каждой точке $(x, f(x))$ отвечает точка $(x, -f(x))$, симметричная с ней).

2) $y = f(-x)$; в этом случае область определения функции $y = f(- x)$ состоит из точек, оси $Ox$, симметричных с точками области определения функции $у = f (x)$ относительно начала координат. Например, функция $у= \sqrt{x}$ определена при $x \geq 0$, функция же $y = \sqrt {-x}$: определена при $x \leq 0$. Графики функций $y = f(x)$ и $у = f (- x)$ состоят из попарно симметричных относительно оси $Oy$ точек $(x, f(x))$ и $(- x, f(x))$.

3) $у = - f(-x)$; точки этого графика будут соответственно расположены симметрично точкам $(x, f(x))$ графика $y = f(x)$ относительно начала координат.


На рис. показан график некоторой функции $y = f(x)$ и графики функций $y = - f(x), y = f (-x), y = - f (-x)$.

По графику функции $y = f(x)$ можно также построить график функции вида

$y = \alpha f(x), \alpha = const \neq 0$.

Положим для определенности $\alpha > 0$ (случай $\alpha < 0$ сведется к случаю положительного $\alpha$ после преобразования симметрии рассмотренного только что).


Ясно, что график функции $y = \alpha f(x)$ получится из графика функции $y = f(x)$ умножением всех ординат на одно и то же число $\alpha$ (так получались, например, графики функций $y = ax^2$ по графику функции $y = x^2$). Если $\alpha > 1$ (например, $\alpha = 2$, как на рис.), то можно сказать, что график растягивается в $\alpha$ раз в направлении оси $Oy$. При $\alpha < 1$ (на рис. показан случай $\alpha = \frac{1}{2}$) «растяжение» в $\alpha$ раз удобней назвать сжатием (в $\frac{1}{ \alpha}$ раз).


Наконец, покажем еще, как по графику функции $y = f(x)$ найти график функции $y = f(ax)$. Пусть сначала $\alpha > 1$. Тогда точкам графика $y = f(x)$ с координатами $(x, у)$ можно поставить в соответствие точки графика $y = f(ax)$ с теми же ординатами $у$ и абсциссами $\frac{x}{ \alpha}$ в $\alpha$ раз меньшими, чем абсциссы $x$ графика $у = f (x)$. Так, в случае $\alpha = 2$ мы будем получать равные значения функций $y = f(x)$ и $y = f(2x)$, выбирая для второй вдвое меньшие абсциссы, чем для первой. При $0 < \alpha < 1$ действие деления абсцисс $x$ на $\alpha$ приведет не к уменьшению (сжатию), а к увеличению (растяжению) абсцисс. На рис. показаны график некоторой функции $y = f(x)$ (заданной на сегменте $[a, b]$) и графики функций $y = f(2x), y = f \left ( \frac{x}{2} \right )$. Заметим, что сама область оси $Ox$, в которой задана функция $y = f(x)$, соответственно растягивается или сжимается.

Рассмотренные преобразования могут осуществляться одновременно в разных сочетаниях. Так, чтобы по графику функции $у = f(x)$ построить график функции $у = -3 f (2x)$, следует выполнить преобразования: 1) сжатия в направлении $Ox$ в два раза, 2) растяжения в направлении оси $Oy$ в три раза, 3) отражения относительно оси $Ox$.