Общим для всех рассмотренных примеров является неограниченное приближение величины члена последовательности к некоторому постоянному числу (1, 2, 0 и 0 соответственно). В таких случаях говорят, что это постоянное число является пределом данной последовательности при п, стремящемся к бесконечности $(n \rightarrow \infty)$.

Приведенные примеры подводят нас к понятию предела; необходимо дать ему четкое определение. $|u_{n} - a| < \varepsilon$.

Если $a$ является пределом последовательности $\{u_{n} \}$, то пишут:

$\lim_{n \rightarrow \infty} u_{n} = a$,

где $lim$ (читается как «предел») - первые буквы латинского слова «limes» (предел).

В примерах соответственно

$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{n+1} = 1; \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2n+3}{n} = 2; \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} = 0; \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{ \sin (n \pi/2)}{n} = 0$.

Приведем некоторые пояснения к сформулированному определению предела последовательности.

1. Разность между членом последовательности и ее пределом $|u_{n} - a|$ рассматривается по модулю, так как несущественно, приближается ли $u_{n}$ к $a$, оставаясь меньше $a$ (как говорят «снизу»), больше $a$ («сверху») или становясь попеременно то больше, то меньше, чем $a$, и даже принимая значения, равные $a$. В разобранных примерах мы видели эти случаи: $\frac{n}{n + 1}$ стремится к 1 снизу, $\frac{2n + 3}{n}$ стремится к 2 сверху, $\frac{(-1)^{n+1}}{n}$ колеблется, становясь то меньше, то больше своего предела, равного нулю. Наконец, члены последовательности $\left \{ \frac {\sin (n \pi/2)}{n} \right \}$ имеют значения то большие, то меньшие, то равные своему пределу. Во всех случаях важно лишь, чтобы разность между $u_{n}$ и $a$ становилась меньше любого положительного числа $\varepsilon$ по абсолютной величине. В частности, предел постоянной последовательности равен ее членам.

2. В формулировке понятия предела, говоря о числе $\varepsilon > 0$, иногда пишут: "сколь угодно малое $\varepsilon > 0$". В этом нет необходимости, так как любое число означает: в том числе и сколь угодно малое.

3. Возвращаясь к примеру 1, заметим, что, например, при $\varepsilon = 0,01$ неравенство

$\left | \frac {n}{n+1} - 1 \right | < \varepsilon$

выполняется, как уже отмечалось, при $n > 99$, а при $\varepsilon = 0,001$ - лишь при условии $n > 999$. Таким образом, когда мы задаем разные значения $\varepsilon$:

$\varepsilon =0,01, \varepsilon = 0,001, \cdots$,

то им соответствуют, вообще говоря, разные $N (N = 99, N = 999$ и т. д.). Таким образом, $N$ в определении предела, как число, находимое при заданном $\varepsilon$, может зависеть от $\varepsilon$. Поэтому обычно пишут $N = N (\varepsilon)$.


4. Пусть последовательность $\{ u_{n} \}$ сходится к пределу $a$: $\lim_{n \rightarrow \infty} u_{n} = a$. Будем изображать члены последовательности точками числовой оси; пусть на числовой оси также отмечена точка с абсциссой $a$ (рис.). Если задано некоторое $\varepsilon > 0$, то неравенство $|u_{n} - а| < \varepsilon$ (выполняющееся при $n > N$, т. е. для всех членов последовательности, начиная с некоторого) равносильно неравенствам

$- \varepsilon < u_{n} - a < \varepsilon$ или $a - \varepsilon < u_{n} < a + \varepsilon$

и означает, что точки $u_{n}$ (при $n > N$) отстоят от точки $a$ меньше чем на $\varepsilon$. Иными словами, они лежат в интервале $(a - \varepsilon, a + \varepsilon)$, который называется $\epsilon$ - окрестностью точки $a$. Эти соображения позволяют дать равносильную формулировку понятия предела с помощью термина «окрестность»: число $a$ называется пределом последовательности $\{ u_{n} \}$, если, какова бы ни была заданная окрестность точки $a$, все члены последовательности, начиная с некоторого, лежат в этой окрестности. «Начиная с некоторого» здесь то же самое, что при $n > N$.

Далеко не всякая последовательность имеет предел. Так, последовательности

$1, 4, 9, \cdots, n^{2}, \cdots$,
$1, -1, 1, -1, \cdots, (-1)^{n+1}, \cdots$

не имеют предела.

Первая из этих последовательностей неограниченная; можно доказать, что неограниченная последовательность не имеет предела: ее члены не могут все, начиная с некоторого, помещаться з окрестности одной точки. Вторая последовательность ограниченная, но тоже не имеет предела. Все ее члены имеют либо значение +1, либо значение - 1, причем тех и других бесконечно много. Они также не могут помещаться в окрестности, длина которой $2 \varepsilon < 2$.

Если последовательность не имеет предела, то ее называют расходящейся. В частности, все неограниченные последовательности суть расходящиеся.


Если последовательность сходящаяся, т. е. имеет предел $a$, то этот предел единственный: последовательность не может сходиться к двум различным пределам $a$ и $a^{ \prime}$. Поясним этот факт, обращаясь к рис.. Если бы и $a$ и $a^{ \prime}$ были пределами последовательности $\{u_{n} \}$, то все ее члены, начиная с некторого, попадали бы в обе окрестности, показанные на рис. Если мы взяли окрестности точек $a$ и $a^{ \prime}$ достаточно малыми, так что они не перекрываются, то члены последовательности не могут одновременно помещаться в обеих окрестностях, т.е. точки $a$ и $a^{ \prime}$ достаточно малыми, так что они не перекрываются, то члены последовательности не могут одновременно помещаться в обеих окрестностях, т. е. точки $a$ и $a^{ \prime}$ не могут обе быть пределами последовательности $\{u_{n} \}$.

Итак, последовательность может иметь или не иметь предела; если она имеет предел, то вполне определенный, единственный. Встают вопросы: как узнать, имеет ли данная последовательность предел, и, если имеет, как его найти? На эти вопросы мы дадим лишь частичный ответ. Доказательства этого признака существования предела мы не даем. Заметим, что пример ($u_{n} = \frac{n}{n+1}$) как раз дает образец последовательности, монотонно возрастающей и ограниченной сверху (все ее члены меньше единицы). Она имеет предел. Последовательность $u_{n} = \frac{2n+3}{n}$ монотонно убывает и ограничена снизу (все ее члены больше нуля). Она также имеет предел. Заметим, что существование предела обеспечивается сочетанием свойств монотонности и ограниченности.

Рассмотрим последовательность

$1,4,9,16, \vdots, n^{2}, \cdots$;

эта последовательность не ограничена сверху. Более того, она обладает особым свойством: каково бы ни было данное число $M > 0$, можно указать такое число $N$, что при $n > N$ будет иметь место неравенство

$u_{n} > M$.

Действительно, достаточно лишь взять $N = \sqrt{М}$, как будем иметь при $n > N$

$u_{n} = n^{2} > M$.

В связи с этим дадим определение положительной бесконечно большой последовательности: Пишут: $\lim_{n \rightarrow \infty} u_{n} = + \infty$, но здесь знак $lim$ употребляется условно, так как символ бесконечности ($\infty$) не является числом, бесконечно большая последовательность должна рассматриваться как расходящаяся.

Так можно определить и отрицательные бесконечно большие последовательности. В этом случае пишут: $\lim_{n \rightarrow \infty} u_{n} = - \infty$.