Понятие периодической функции.

Разделы

Дополнительно

Понятие периодической функции.

периодическая функция основной период

Тригонометрические функции обладают свойством периодичности, которое определяется в общей форме следующим образом.

Определение. Функция $f(x)$ называется периодической с периодом $T$ ($T \neq 0)$, если для любого $x$ выполнено условие: если функция определена в одной из точек $x$ или $x + T$, то она определена и во второй точке, и ее значения в обеих точках равны между собой:

$f(x) = f(x + T)$. (1)

Число $T$ называется в этом случае периодом функции $f(x)$. Докажем следующее предложение:

Если $T$ - период функции $f(x)$, то и любое из чисел $nT, n = - 1, \pm 2, \cdots$, также является периодом $f(x)$.

Доказательство. Проведем сначала доказательство для $-T$. Для этого рассмотрим пару значений аргумента $x$ и $x + (-T) = x - T$. Из записи

$x = (x - T) + T$

видно (в силу определения периодичности), что если функция определена в одной из точек $x-T, x$, то она определена и во второй точке. Далее устанавливаем равенство $f(x-T) = f(x)$:

$f(x) = f((x-T) + T) = f(x-T)$.

Доказательство того, что $nT$ при натуральном $n$ является периодом функции $f(x)$, проведем по индукции (случай отрицательного $n$ сводится к этому заменой $T$ на $-T$). Итак, требуется установить, что если $f(x)$ определена в одной из точек $x, x + nT$, то она определена и во второй точке, причем $f(x) = f(x+nT)$. Допустим, что утверждение теоремы уже доказано для некоторого $n = k$ (оно, например, очевидно при $n = 1$). Докажем, что оно останется верным и для $n = k + 1$. Прежде всего, в силу того, что $T$ - период, замечаем, что если одно из значении аргумента $x+kT$ и $x+(k+1) T = (x+kT) + T$ принадлежит области определения функции, то ей принадлежит и второе значение. Так как, по предположению индукции, такое же положение справедливо и для пары точек $x$ и $x + kT$, то видно, что точки $x$ и $x + (k+1)T$ принадлежат (или не принадлежат) области определения $f(x)$ одновременно. Далее устанавливаем равенство значений $f(x)$ в точках $x$ и $x +(k+1)T$:

$f(x + (k+1)T) = f(x + kT + T) = f(x + kT) = f(x)$ (последнее - по предположению индукции).

Доказано, что $nT$ - период функции при любом целом $n$.

Наименьший положительный период функции (если он существует) называется основным периодом.

Пример 1. Функция $f(x) = c$ ($c$ - постоянная величина) имеет своим периодом любое число. Основного периода здесь нет. График этой функции изображен на рис.

Пример 2. Напомним, что целой частью числа $x$ (обозначение: $[x]$) называется наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Целая часть х есть функция от $x$; ее график показан на рис.

Дробной частью числа $x$ (обозначение: $(x)$) мы назвали разность между $x$ и его целой частью:

$(x) = x - [x]$.

Дробная часть $x$ является периодической функцией с основным периодом $T = 1$. Действительно,

$(x + 1) = x + 1 - [x + 1]$,

и так как очевидно, что $[x + 1] = = [x] + 1$, то

$(x + 1) = x + 1 - [x + 1] = x + 1 - [x] - 1 = x - [x] = (x)$.

График дробной части $x$ показан рис.

Пример 3. а) Рассмотрим следующую функцию $f(x)$, определенную для $x$, удовлетворяющих неравенствам $0 \leq x < 2$:

$f(x) = \begin{cases} x \: при \: 0 \leq < 1, \\ \frac{1}{2} \: при \: 1 \leq x < 2. \end{cases}$

График функции изображен на рис.

б) С помощью этой функции $f(x)$, приняв за основной период число $T = 2$, построим периодическую функцию $F(x)$:

$F(x) = \begin{cases} x - [x] \: при \: 2n \leq x < 2n + 1, \\ \frac{1}{2} \: при \: 2n + 1 \leq x < 2n + 2, \end{cases}$

$n = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots$

График функции $F(x)$ изображен на рис.