Разделы 
Дополнительно
Показательные уравнения.
Показательные уравнения
Показательными называют уравнения в случае, если неизвестная величина находится в показателе степени (основание которой не содержит неизвестной величины)
; к показательным можно отнести уравнения
$4^x - 2^{x+1} - 8 = 0, 9^{x^{2}+4x} = 3^{3x+7}$.
Простейшим показательным уравнением является уравнение вида
$a^{x} = b$. (1)
Оно решается с помощью логарифмирования:
$x = log_a b$.
Во многих случаях решение показательного уравнения после надлежащих преобразований сводится к решению уравнений простейшего вида (1). Кроме того, при решении показательных уравнений часто используется следующее известное положение.
Если равны степени с одним и тем же основанием, то равны показатели степени (либо основание равно единице): из равенства
$a^u = a^v$
вытекает $u = v$ (или $а = 1$).
Разберем пример решения показательных уравнений.
Пример 1. Решить уравнение $9^{x^{2} + 4x - 4,5} = 3$.
Решение. Удобно представить обе части уравнения как степени одного и того же числа, например 9:
$9^{x^{2} + 4x - 4,5} = 9^{0,5}$.
Теперь приравниваем показатели степени и получаем уравнение
$x^{2} + 4x - 4,5 = 0,5$,
из которого находим решения данного уравнения:$x_{1} = 1, x_{2} = -5$.
Решение. Удобно представить обе части уравнения как степени одного и того же числа, например 9:
$9^{x^{2} + 4x - 4,5} = 9^{0,5}$.
Теперь приравниваем показатели степени и получаем уравнение
$x^{2} + 4x - 4,5 = 0,5$,
из которого находим решения данного уравнения:$x_{1} = 1, x_{2} = -5$.
Пример 2. Решить уравнение $4^{x} - 2^{x+1} - 8 = 0$.
Решение. И здесь удобно свести показательные функцт к одному основанию 2:
$2^{2x} - 2 \cdot 2^{x} - 8 = 0$.
Получили крадратное уравнение для неизвестной $u = 2^{x}$:
$u^{2} - 2u - 8 = 0$;
его корни $u_{1} = 4, u_{2} = - 2$. Так как $u = 2^{x}$ не может иметь отри дательных значений, то имеет смысл только решение $u_{1} = 4$ находим единственный корень $x = 2$ уравнения из равенств $2^{x} = 4$.
Решение. И здесь удобно свести показательные функцт к одному основанию 2:
$2^{2x} - 2 \cdot 2^{x} - 8 = 0$.
Получили крадратное уравнение для неизвестной $u = 2^{x}$:
$u^{2} - 2u - 8 = 0$;
его корни $u_{1} = 4, u_{2} = - 2$. Так как $u = 2^{x}$ не может иметь отри дательных значений, то имеет смысл только решение $u_{1} = 4$ находим единственный корень $x = 2$ уравнения из равенств $2^{x} = 4$.
Пример 3. Решить уравнение $2^{x+3} + 2^{x+2} + 2^{x+1} = 7^{x} + 7^{x-1}$.
Решение. Преобразуем обе части уравнения:
$8 \cdot 2^{x} + 4 \cdot 2^{x} + 2 \cdot 2^{x} = 7^{x} + \frac{1}{7}7^{x}$,
$14 \cdot 2^{x} = \frac{8}{7} \cdot 7^{x}, \frac{1}{4} 2^{x} = \frac{1}{49} 7^{x}$
или, наконец
$2^{x-2} = 7^{x - 2}$.
Отсюда $\left ( \frac{2}{7} \right )^{x- 2} = 1$ и $x - 2 = 0$.
Итак, $x = 2$ - единственный корень уравнения.
Решение. Преобразуем обе части уравнения:
$8 \cdot 2^{x} + 4 \cdot 2^{x} + 2 \cdot 2^{x} = 7^{x} + \frac{1}{7}7^{x}$,
$14 \cdot 2^{x} = \frac{8}{7} \cdot 7^{x}, \frac{1}{4} 2^{x} = \frac{1}{49} 7^{x}$
или, наконец
$2^{x-2} = 7^{x - 2}$.
Отсюда $\left ( \frac{2}{7} \right )^{x- 2} = 1$ и $x - 2 = 0$.
Итак, $x = 2$ - единственный корень уравнения.
Пример 4. Решить уравнение
$(3 - 2 \sqrt{2})^{x^{2} - 6x + 9} + (3 + 2\sqrt{2})^{x^{2} - 6x + 9} = 6$. (2)
Решение. Заметим, что числа $3 - 2 \sqrt{2}$ и $3 + 2\sqrt{2}$ обратны по величине:
$3 - 2 \sqrt{2} = \frac{1}{3 + 2 \sqrt{2} }$.
Поэтому, обозначив $(3 - 2 \sqrt{2})^{x^{2} - 6x + 9 }$ через $u$, перепишем уравнение (2) в виде
$u + \frac{1}{u} = 6$.
Имеем для $u$ корни $u_{1,2} = 3 \pm 2 \sqrt{2}$. Равенства
$(3 - 2 \sqrt{2} )^{x^{2} - 6x + 9} = 3 + 2 \sqrt{2}, (3 - 2 \sqrt{2})^{x^{2} - 6x + 9 } = 3 - 2 \sqrt{2}$
приводят к двум квадратным уравнениям относительно $x$:
$x^{2} - 6x + 9 = - 1, x^{2} - 6x + 9 = 1$.
Первое из них имеет мнимые корни, второе же дает решения уравнения (2): $x_{1} = 4, x_{2} = 2$.
$(3 - 2 \sqrt{2})^{x^{2} - 6x + 9} + (3 + 2\sqrt{2})^{x^{2} - 6x + 9} = 6$. (2)
Решение. Заметим, что числа $3 - 2 \sqrt{2}$ и $3 + 2\sqrt{2}$ обратны по величине:
$3 - 2 \sqrt{2} = \frac{1}{3 + 2 \sqrt{2} }$.
Поэтому, обозначив $(3 - 2 \sqrt{2})^{x^{2} - 6x + 9 }$ через $u$, перепишем уравнение (2) в виде
$u + \frac{1}{u} = 6$.
Имеем для $u$ корни $u_{1,2} = 3 \pm 2 \sqrt{2}$. Равенства
$(3 - 2 \sqrt{2} )^{x^{2} - 6x + 9} = 3 + 2 \sqrt{2}, (3 - 2 \sqrt{2})^{x^{2} - 6x + 9 } = 3 - 2 \sqrt{2}$
приводят к двум квадратным уравнениям относительно $x$:
$x^{2} - 6x + 9 = - 1, x^{2} - 6x + 9 = 1$.
Первое из них имеет мнимые корни, второе же дает решения уравнения (2): $x_{1} = 4, x_{2} = 2$.
