Исследуем эту функцию.
1) Областью определения функции (1) служит вся ось абсцисс, т. е. бесконечный интервал $(- \infty, + \infty)$.
2) Функция (1) не является ни четной, ни нечетной.
3) Функция $y = a^x$ положительна при всех значениях аргумента, поэтому ее график весь располагается выше оси абсцисс. Если $a > 1$, то $a^x > 1$ при $x > 0$ и $a^x < 1$ при $x < 0$. Напротив, если $a < 1$, то $a^x < 1$ при $x > 0$ и $a^x > 1$ при $x < 0$. В любом случае $a^x_{x=0} = 1$. График проходит через точку $(0, 1)$ на оси $Oy$.
4) Если $a > 1$, то функция $у = a^x$ монотонно возрастает; если $a < 1$, то она монотонно убывает. Действительно, пусть, например, $a > 1$. При $x_1 > x_2$ имеем

$y_1 - y_2 = a^{x_1} - a^{x_2} = a^{x_2} (a^{x_1-x_2} - 1)$

в этом выражении оба множителя положительны и $y_1 > y_2$. Аналогично доказывается убывание функции в случае $a < 1$.
5) Пусть $a > 1$ как мы видели, функция $y = a^x$ возрастает; можно показать, что при этом ее значения по мере возрастания $x$ становятся сколь угодно большими. График функции круто поднимается вверх при движении точки $x$ по оси абсцисс вправо.


Если теперь заставить переменную точку $x$ двигаться без ограничений по оси $Ox$ влево, то при этом значения функции (1) будут становиться все меньше и меньше, оставаясь, однако, положительными. По мере неограниченного движения точки $x$ по оси $Ox$ влево график функции (1) будет сверху все ближе и ближе подходить к оси $Ox$. Ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой графика функции (1), как показано на рис а.

В случае $a < 1$ функция $y = a^x$, как уже отмечено, убывает; по мере возрастания $x$ ее значения быстро приближаются к нулю - ось $Ox$ является асимптотой графика функции. Отрицательным значениям $x$ теперь соответствуют значения функции,большие единицы, с увеличением модуля $x (x \rightarrow - \infty)$ функция растет, стремится к бесконечности. График показательной функции при $a < 1$ показан на рис. б.


Чем больше основание $a > 1$, тем круче поднимается график функции $y = a^x$ вправо и тем быстрее приближается к асимптоте при движении точки влево. На рис. показаны графики показательных функций $y = a^x$ при значениях основания $a = 2,3, 1/2, 1/3$. Заметим, что графики $y = 2^x$ и $y = \left ( \frac{1}{2} \right )^x$ (или $y = 3^x$ и $y = \left ( \frac{1}{3} \right )^x$) соответственно симметричны относительно оси $Oy$. Действительно, $y = \left ( \frac{1}{2} \right )^x$ можно записать как $y = 2^{-x}$; если точка $(x, y)$ принадлежит графику функции $y = 2^x$, то точка $(-x, y)$, симметричная ей относительно оси $Oy$, лежит на графике $y = 2^{-x}$.

Замечание. Исключение из числа значений основания $a$ чисел $a = 0, a = 1$ и отрицательных значений а объясняется следующими обстоятельствами. При $a = 0$ выражение вида $0^{x}$ определено при $x > 0$ и в этом случае тождественно равно нулю. При $a = 1$ выражение $1^{x}$ определено при всех $x$, но снова имеет постоянное значение (тождественно равно единице). Для отрицательных $a$ возможно возведение в целую степень $x = n$ или в рациональную степень $x = p/q$ с нечетным знаменателем $q; a^{x}$ имеет смысл в случае $a < 0$ лишь при указанных сравнительно «редких» значениях $a$. Поэтому $a = 0$ и $a = 1$ исключают из определения показательной функции в силу того, что эти случаи неинтересны (приводят к постоянным), а $a < 0$ — в силу того, что область допустимых значений х не является «сплошной», а состоит из «разрозненных» точек. Само аналитическое выражение $a^{x}$ в указанных случаях сохраняет смысл и может встречаться в решении задач. Например, для выражения $x^{y}$ точка $x = - 1, y = - 1$ входит в о.д.з.