Одним из важных свойств тригонометрических функций является свойство периодичности, с которым мы в общем виде познакомились в разделе "Понятие периодической функции". Докажем следующую теорему о периодичности тригонометрических функций.
Теорема. Тригонометрические функции $\sin \alpha, \cos \alpha, tg \alpha, ctg \alpha, sec \alpha$ и $cosec \alpha$ являются периодическими функциями, причем основной период функций $\sin \alpha, \cos \alpha, sec \alpha$ и $cosec \alpha$ равен $2\pi (360^{\circ})$, а основной период функций $tg \alpha$ и $ctg \alpha$ равен $\pi (180^{\circ})$.
Доказательство. Углы вида $\beta_{n} = 360^{\circ} n + \alpha$, где $0^{\circ} \leq \alpha < 360^{\circ}$ и $n$ - целое число (положительное, отрицательное или нуль). В радианной мере эти углы можно записать в виде $\beta_{n} = 2n \pi + \alpha$, где $0 \leq \alpha < 2 \pi$ и $n$ - любое целое число (положительное, отрицательное или нуль). Напомним, что все углы $\beta_{n}$ при разных значениях $n$, но одном и том же $\alpha$ имеют общие начальную ($\bar{OA}$) и конечную ($\bar{OE}$) стороны. Если воспользоваться первой из формул $\begin{cases} \sin \alpha = y, \cos \alpha = x \\ tg \alpha = \frac{y}{x}, ctg \alpha = \frac{x}{y} \\ sec \alpha = \frac{1}{x}, cosec \alpha = \frac{1}{y} \end{cases}$ для определения синуса, то получим
$\sin \beta_{n} = \sin ( 2 \pi n + \alpha) = у = \sin \alpha$;
если воспользоваться второй из формул $\begin{cases} \sin \alpha = y, \cos \alpha = x \\ tg \alpha = \frac{y}{x}, ctg \alpha = \frac{x}{y} \\ sec \alpha = \frac{1}{x}, cosec \alpha = \frac{1}{y} \end{cases}$ для определения косинуса, то получим
$\cos \beta_{n} = \cos (2 \pi n + \alpha) = x = \cos \alpha$
так как соответствующие значения $x$ и $y$ для угла $\alpha$ и углов $\beta_{n} = 2 \pi n + \alpha$ одинаковы (рис.). Аналогичный результат получается и для других тригонометрических функций. Мы приходим к следующим формулам:
$\begin{cases} \sin (2 \pi n + \alpha) = \sin \alpha \\ \cos (2 \pi n + \alpha) = \cos \alpha \\ tg (2 \pi n + \alpha) = tg \alpha \\ ctg (2 \pi n + \alpha) = ctg \alpha \\ sec (2 \pi n + \alpha) = sec \alpha \\ cosec (2 \pi n + \alpha) = cosec \alpha \end{cases}$ (1)
где $n = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots$.
Этим уже доказано, что $Т = 2 \pi$ является периодом для всех основных тригонометрических функций. Покажем, что для тангенса и котангенса справедливы также следующие формулы:
$\begin{cases} tg ( \pi n + \alpha) = tg \alpha \\ ctg (\pi n + \alpha) = ctg \alpha \end{cases}$ (2)
где $n = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots$.
Рассмотрим два случая.
а) $n = 2k$, т. е. $n$ - четное число $(k = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots)$. В этом случае имеем
$tg (\pi n + \alpha) = tg (2k \pi + \alpha) = tg \alpha$,
$ctg (\pi n + \alpha) = ctg (2k \pi + \alpha) = ctg \alpha$.
Здесь мы использовали полученные ранее формулы (1).
б) $n = 2k + 1$, т. е. $n$ - нечетное число $(k = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots)$. В этом случае имеем
$tg (\pi n + \alpha) = tg (2k \pi + \alpha) = tg (\pi + \alpha)$,
$ctg (\pi n + \alpha) = ctg (2k \pi + \alpha) = ctg (\pi + \alpha)$.
Здесь мы использовали формулы (1).
Из геометрических соображений (рис.) следует, что $y = - y_{1}$ и $x = - x_{1}$, где $x$ и $y$ - координаты конца подвижного единичного радиуса-вектора $\vec{r}$, образующего с осью абсцисс угол $\alpha$, а $x_{1}$ и $y_{1}$ - координаты конца подвижного единичного радиуса-вектора $\vec{r}$ образующего с осью абсцисс угол $\pi + \alpha$.
Мы имеем
$tg( \pi + \alpha ) = \frac{y_{1}}{x_{1}} = \frac{-y}{-x} = \frac{y}{x} = tg \alpha$
Аналогично получаем $ctg (\pi + \alpha) = ctg \alpha$. Следовательно, при любом $n = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots$ имеем
$tg ( \pi n + \alpha) = tg \alpha$,
$ctg (\pi n + \alpha) = ctg \alpha$.
Для углов в градусной мере аналогичные формулы получим, заменив в формулах (1) $2 \pi n$ на $360^{\circ} n$ и в формулах (2) $\pi n$ на $180^{\circ}n$. Этим доказано, что $\pi$ (или $180^{\circ}$) - период для функций $tg \alpha$ и $ctg \alpha$. Остается доказать, что $2 \pi$ - основной период для $\sin \alpha, \cos \alpha, sec \alpha$ и $cosec \alpha$, а $\pi$ - основной период для $tg \alpha$ и $ctg \alpha$. Докажем это только для $\sin \alpha$, а для остальных основных пяти функций советуем это сделать самостоятельно.
Доказательство. Требуется показать, что $Т = 2 \pi$ - наименьший положительный угол такой, что для всех $\alpha$ выполняется равенство $\sin ( \alpha + T) = \sin \alpha$. Проведем доказательство от противного. Допустим, например, что существует угол $A$ такой, что
$\sin ( \alpha + A) \equiv \sin \alpha$ и $0 < A < 2 \pi$.
Так как в последнем равенстве $\alpha$ может быть любым (ведь это равенство, по предположению, выполняется тождественно), то должно выполняться, например, равенство
$\sin \left ( \frac{ \pi}{2} + A \right ) = \sin \frac{ \pi}{2} = 1$.
Но $\sin \alpha = 1$ только для аргументов $\alpha$ вида $\alpha = \frac{ \pi}{2} + 2 \pi n$, где $n = 0, \pm 1, \pm2, \cdots$. Следовательно, должно выполняться равенство $\frac{ \pi}{2} + A = \frac{ \pi}{2} + 2 \pi n$, откуда следует, что $A = 2\pi n$. Мы пришли к противоречию, предположив, что $0 < A < 2 \pi$.
Для $\sin \alpha$ наше утверждение доказано. Аналогично оно доказывается и для других тригонометрических функций.