Самое важное для нас - это уметь вычислять перемещение тела, потому что, зная перемещение, можно найти и координаты тела, а это и есть главная задача механики. Как же вычислить перемещение при равноускоренном движении?
Формулу для определения перемещения проще всего получить, если воспользоваться графическим методом.
В § 9 мы видели, что при прямолинейном равномерном движении перемещение тела численно равно площади фигуры (прямоугольника), расположенной под графиком скорости. Верно ли это для равноускоренного движения?
При равноускоренном движении тела, происходящем вдоль координатной оси $X$, скорость с течением времени не остается постоянной, а меняется со временем согласно формулам:
$v = v_{0} + | \vec{a} |t$ (1а)
и
$0 = v_{0} - | \vec{a}|t$. (1б)
рис.1
Поэтому графики скорости имеют вид, показанный на рисунке 1. Прямая 1 на этом рисунке соответствует движению с «положительным» ускорением (скорость растет), прямая 2 - движению с «отрицательным» ускорением (скорость убывает). Оба графика относятся к случаю, когда в момент времени $t = 0$ тело имело скорость $v_{0}$.
рис.2
Выделим на графике скорости равноускоренного движения маленький участок $ab$ (рис.2) и опустим из точек $a$ и $b$ перпендикуляры на ось $t$. Длина отрезка $cd$ на оси $t$ численно равна тому малому промежутку времени, за который скорость изменилась от ее значения в точке $a$ до ее значения в точке $b$. Под участком графика $ab$ получилась узкая полоска $abcd$.
Если промежуток времени, численно равный отрезку $cd$, достаточно мал, то в течение этого времени изменение скорости тоже мало. Движение в течение этого промежутка времени можно считать равномерным, и полоска $cbdc$ будет тогда мало отличаться от прямоугольника. Площадь полоски поэтому численно равна перемещению тела за время, соответствующее отрезку $cd$.
Но на такие узкие полоски можно разбить всю площадь фигуры, расположенной под графиком скорости. Следовательно, перемещение за все время $t$ численно равно площади трапеции $OABC$. Площадь же трапеции, как известно из геометрии, равна произведению полусуммы ее оснований на высоту. В нашем случае длина одного из оснований трапеции численно равна $v_{0}$, длина другого - $v$. Высота же ее численно равна $t$. Отсюда следует, что перемещение $s$ равно:
$s = \frac{v_{0} + v }{2} t$. (2)
Подставим в эту формулу вместо $v$ выражение (1а), тогда
$s = \frac{v_{0} + v_{0} + | \vec{a} |t }{2} t = \frac{2v_{0}t + | \vec{a} |t^{2} }{2}$.
Разделив почленно числитель на знаменатель, получим:
$s = v_{0}t + \frac{| \vec{a} |t^{2} }{2}$. (2а)
рис.3
Подставив в формулу (2) выражение (16), получим (см. рис. 3):
$s = \frac{v_{0} + v_{0} - | \vec{a}|t }{2} t = \frac{2v_{0}t - | \vec{a} | t^{2} }{2}$,
или
$s = v_{0}t - \frac{| \vec{a} |t^{2} }{2}$. (2б)
Формулу (2а) применяют в том случае, когда вектор ускорения $\vec{a}$ направлен так же, как и ось координат, а формулу (26) тогда, когда направление вектора ускорения противоположно направлению этой оси.
рис.4
Если начальная скорость $v_{0}$ равна нулю (рис. 4) и вектор ускорения направлен по оси координат, то из формулы (2а) следует, что
$s = \frac{| \vec{a} |t^{2} }{2}$.
Если же направление вектора ускорения противоположно направлению оси координат, то из формулы (26) следует, что
$s = - \frac{| \vec{a} |t^{2} }{2}$
(знак «-» здесь означает, что вектор перемещения, так же как и вектор ускорения, направлен противоположно выбранной оси координат).
Напомним, что в формулах (2а) и (26) величины $s$ и $v_{0}$ могут быть как положительными, так и отрицательными - это проекции векторов $\vec{s}$ И $\vec{v}_{0}$.
Теперь, когда мы получили формулы для вычисления перемещения, нам легко получить и формулу для вычисления координаты тела. Мы видели (см. § 8), что, для того чтобы найти координату тела $x$ в какой-то момент времени $t$, надо к начальной координате $x_{0}$ прибавить проекцию вектора перемещения тела на ось координат:
$x= x_{0} + s$. (3)
Поэтому
$x = x_{0} + v_{0}t + \frac{| \vec{a} |t^{2} }{2}$, (3а)
если вектор ускорения направлен так же, как и ось координат, и
$x = x_{0} + v_{0}t - \frac{| \vec{a} |t^{2} }{2}$, (3б)
если направление вектора ускорения противоположно направлению оси координат.
Это и есть формулы, позволяющие находить положение тела в любой момент времени при прямолинейном равноускоренном движении. Для этого нужно знать начальную координату тела $x_{0}$, его начальную скорость $\vec{v}_{0}$ и ускорение $\vec{a}$.
Задача 1. Водитель автомобиля, движущегося со скоростью 72 км/ч, увидел красный сигнал светофора и нажал на тормоз. После этого автомобиль начал тормозить, двигаясь с ускорением 5 $м/сек^{2}$. Какое расстояние пройдет автомобиль за время $t_{1} = 2 сек$ после начала торможения? Какое расстояние пройдет автомобиль до полной остановки?
рис.5
Решение. За начало координат выберем ту точку дороги, в которой автомобиль начал тормозить. Координатную ось направим по направлению движения автомобиля (рис. 5), а начало отсчета времени отнесем к моменту, в который водитель нажал на тормоз. Скорость автомобиля направлена так же, как ось $X$, а ускорение автомобиля противоположно направлению этой оси. Поэтому проекция скорости на ось $X$ положительна, а проекция ускорения отрицательна и координату автомобиля нужно находить по формуле (3б):
$x = x_{0} + v_{0}t - \frac{| \vec{a} |t^{2} }{2}$.
Подставляя в эту формулу значения
$x_{0} = 0, t = t_{1} = 2 сек, v_{0} = 72 \frac{км}{ч} = 20 \frac{м}{сек}$ и $| \vec{a} | = 5 \frac{м}{сек^{2} }$,
получим:
$x = 20 \frac{м}{сек} \cdot 2 чел - \frac{5 \frac{м}{сек^{2} } \cdot 4 сек^{2} }{2} = 40 м - 10 м = 30 м$.
Теперь найдем, какое расстояние пройдет автомобиль до полной остановки. Для этого нам нужно знать время движения Его можно узнать, воспользовавшись формулой $v = v_{0} - | \vec{a} | t$.
Так как в тот момент, когда автомобиль останавливается, его скорость $v$ равна нулю, то
$v_{0} - | \vec{a} | t_{2} = 0$
и $t_{2} = \frac{v_{0} }{| \vec{a} |} = \frac{20 \frac{м}{сек}}{5 \frac{м}{сек^{2} } } = 4 сек$.
Расстояние, которое пройдет автомобиль до полной остановки, равно координате автомобиля в момент времени $t_{2}$:
$x = 20 \frac{м}{сек} \cdot 4 сек - \frac{ 5 \frac{м}{ сек^{2} } \cdot 16 сек^{2} }{2} = 80 м - 40 м= 40 м$.
Задача 2. Определите перемещение тела, график скорости которого показан на рисунке 6. Ускорение тела равно $a$.
рис.6
Решение. Так как сначала модуль скорости тела уменьшается со временем, то вектор ускорения направлен противоположно направлению оси $X$. Для вычисления перемещения мы можем воспользоваться формулой
$s = x - x_{0} = v_{0}t - \frac{| \vec{a} |t^{2} }{2}$.
Из графика видно, что $v_{0} = | \vec{a} | \tau $ и время движения $t = 2 \tau$, поэтому:
$s = | \vec{a} | \tau \cdot 2 \tau - \frac{| \vec{a} |(a \tau )^{2} }{2} = 2 | \vec{a} | \tau^{2} - \frac{4 | \vec{a} | \tau^{2} }{2} = 0$.
Полученный ответ показывает, что график, изображенный на рисунке 6, соответствует движению тела сначала в одном направлении, а затем на такое же расстояние в противоположном направлении, в результате чего тело оказывается в исходной точке. Подобный график может, например, относиться к движению тела, брошенного вертикально вверх.
Задача 3. Тело движется вдоль прямой равноускоренно с ускорением $\vec{a}$. Найдите разность расстояний, проходимых телом за два следующих один за другим одинаковых промежутка времени $\tau$.
рис.7
Решение. Примем прямую, вдоль которой движется тело, за ось $X$. Если в точке $A$ (рис. 7) скорость гола была равна $v_{A}$, то его перемещение $AB$ за время $\tau$ равно:
$s_{1} = v_{A} \tau + \frac{| \vec{a} | \tau^{2} }{2}$.
В точке $B$ тело имело скорость $v_{B} = v_{A} + | \vec{a} | \tau$, и его перемещение за следующий промежуток времени $\tau$ равно:
$s_{2} = v_{B} \tau + \frac{| \vec{a} | \tau^{2} }{2} = v_{A} \tau + | \vec{a} | \tau^{2} + \frac{| \vec{a} | \tau^{2} }{2}$.
Значения перемещений $s_{1}$ и $s_{2}$ равны расстояниям $l_{1}$ и $l_{2}$, пройденным телом за соответствующие промежутки времени. Найдем их разность
$l_{2} - l_{1} = s_{2} - s_{1} = v_{A} \tau + | \vec{a} | \tau^{2} + \frac{| \vec{a} | \tau^{2} }{2} - v_{A} \tau - \frac{| \vec{a} \tau^{2} |}{2} = | \vec{a} | \tau^{2}$.
Таким образом,
$l_{2} - l_{1} = | \vec{a} | \tau^{2}$.