Во многих случаях графики функций могут быть построены путем некоторых преобразований уже известных графиков других функций более простого вида. Так, если известен график функции $y = f(x)$, то можно построить графики функций вида

$y = f (x) + \beta$; $y = f (x + \alpha)$.


1) Построение графика функции $y = f(x) + \beta$ (сдвиг графика в направлении оси ординат). Вспомним, что график линейной функции $y = ax + b$ получался из графика функции направлении оси $Oy$ (см. рис.). Точно так же ясно, что ординаты графика функции $y = f(x) + \beta$ получаются из ординат графика функции $y = f(x)$ прибавлением постоянного слагаемого $\beta$, т. е. для получения графика $y = f(x) + \beta$ надо весь график $y = f (x)$ переместить параллельно оси $Oy$ на $|\beta|$ единиц вверх или вниз, смотря по знаку $\beta$ (рис.).


2) Построение графика функции $y = f(x + \alpha)$ (сдвиг графика в направлении оси абсцисс). Пусть по графику функции $y = f(x)$ нужно построить график функции $y = f(x + \alpha)$. Эту задачу можно решить переносом графика функции $y = f(x)$ на $|\alpha|$ единиц масштаба влево, если $a > 0$, и вправо, если $a < 0$ (рис.).


Поясним это на следующем примере. Рассмотрим функцию $y = (x + 1)^2$ и сравним ее график с графиком функции $y = x^2$. Одни и те же ординаты мы получим, если для функции $y =(x + 1)^2$ будем брать абсциссы на единицу меньшие, чем для $y = x^2$. Абсциссы всех точек графика $y = x^2$ следует уменьшить на единицу, т. е. сдвинуть график $y = x^2$ влево на одну единицу масштаба (рис. а).


По таким же соображениям видно, что график функции $y = (x-2)^2$ получится из графика функции $y = x^2$ сдвигом на две единицы вправо (рис. б).

Оба сдвига - в направлении осей $Ox$ и $Oy$ могут применяться одновременно. Так, для построения графика функции $y = (x-2)^2 - 1$ следует график функции $y = x^2$ снести на две единицы вдоль оси $Ox$ вправо и на одну единицу вдоль оси $Oy$ вниз (рис. в).