Назовем вращение подвижного радиуса-вектора в направлении против движения часовой стрелки положительным, а в противоположном направлении (в направлении по движению часовой стрелки) - отрицательным.
Угол, описанный при отрицательном вращении подвижного радиуса-вектора, назовем отрицательным углом.
Правило. Угол измеряется положительным числом, если он положительный, и отрицательным числом, если он отрицательный.
Пример 1. На рис. изображены два угла с общей начальной стороной $\bar {OA}$ и общей конечной стороной $\bar {OD}$: один равен $+270^{\circ}$, другой $-90^{\circ}$.
Сумма двух углов. На координатной плоскости $Oxу$ рассмотрим окружность единичного радиуса с центром в начале координат (рис.). Пусть произвольный угол $\alpha$ (на чертеже положительный) получен в результате вращения некоторото подвижного радиуса-вектора от его начального положения $\bar{OA}$, совпадающего с положительным направлением оси $Ox$, до его конечного положения $\bar{OE}$. Примем теперь положение радиуса-вектора $\bar{OE}$ за начальное и отложим от него произвольный угол $\beta$ (на чертеже положительный), который получим в результате вращения некоторого подвижного радиуса-вектора от его начального положения $\bar{OE}$ до его конечного положения $\bar{OC}$. В результате этих действий мы получим угол, который будем называть суммой углов $\alpha$ и $\beta$. (Начальное положение подвижного радиуса-вектора $\bar{OA}$, конечное положение радиуса-вектора $\bar {OC}$.)
Разность двух углов.
Под разностью двух углов $\alpha$ и $\beta$, которую обозначим $\alpha - \beta$, мы будем понимать такой третий угол $\gamma$, который в сумме с углом $\beta$ дает угол $\alpha$, т. е. $\gamma = \alpha - \beta$, если $\beta + \gamma = \alpha$. Разность двух углов $\alpha$ и $\beta$ можно трактовать как сумму углов $\alpha$ и $- \beta$. В самом деле, $[\alpha + (- \beta)] + \beta = \alpha$ (рис.). Вообще, для любых углов их сумма измеряется алгебраической суммой действительных чисел, измеряющих эти углы.
Пример 2. $\angle AOB = + 60^{\circ}$, а $\angle BOC = - 90^{\circ}$, тогда $\angle AOB + \angle BOC = \angle AOC = 60^{\circ} + (-90^{\circ}) = -30^{\circ}$ (рис.).
Пример 3. Угол $\beta = +780^{ \circ}$, а угол $\beta^{ \circ} = -1110^{ \circ}$. Сумма их $\beta + \beta^{ \circ} = 780^{\circ} + (- 1110^{\circ}) = -330^{\circ}$.
В формуле (1) раздела "Углы и дуги, большие $360^{\circ}$" предполагалось, что $n$ - любое целое неотрицательное число. Если же предположить, что $n$ - любое целое число (положительное, отрицательное или нуль), то при помощи формулы
$\beta_{n} = 360^{ \circ} n + \alpha$, (1),
где $0^{\circ} \leq \alpha < 360^{\circ}, n = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots$ можно будет записать любой угол, как положительный, так и отрицательный.
Пример 4. Угол, равный $-1370^{\circ}$, можно записать так:
$-1370^{\circ} = 360^{\circ}(-4) + 70^{\circ}$.
Здесь $n = -4, \alpha = + 70^{\circ}$.
Заметим, что все углы $\beta_{n}$, записанные при помощи формулы (1), при разных значениях $n$, но одном и том же $\alpha$, имеют общие начальную ($\bar {OA}$) и конечную ($\bar{OE}$) стороны (рис.). Поэтому построение любого угла $\beta_{n}$ сводится к построению соответствующего неотрицательного угла $\alpha$ меньшего $360^{\circ}$. На рис. углы $\beta_{n} = \alpha + 360^{\circ} n$ между собой не отличаются, они различаются лишь процессом вращения радиуса-вектора, который привел к их образованию.