При преобразовании дробного алгебраического выражения, в знаменателе которого записано иррациональное выражение, обычно стремятся представить дробь так, чтобы ее знаменатель был рациональным. Если $A, B, C, D, \cdots$ — некоторые алгебраические выражения, то можно указать правила, с помощью которых можно освободиться от знаков радикала в знаменателе выражений вида

$\frac{A}{\sqrt[n]{B}}, \frac{A}{B+C \sqrt{D}}, \frac{A}{\sqrt{B} + c \sqrt{D}}, \frac{A}{ \sqrt[3]{B} \pm \sqrt[3]{C}}$ и т.д.

Во всех этих случаях освобождение от иррациональности производится умножением числителя и знаменателя дроби на множитель, выбранный так, чтобы его произведение на знаменатель дроби было рациональным.

1) Для освобождения от иррациональности в знаменателе дроби вида $A/ \sqrt[n]{B}$ умножаем числитель и знаменатель на $\sqrt[n]{B^{n-1}}$.
$\frac{A}{\sqrt[n]{B}} = \frac{A \sqrt[n]{B^{n-1}}}{\sqrt[n]{B} \sqrt[n]{B^{n-1}}} = \frac{A \sqrt[n]{B^{n-1}}}{B}$.

Пример 1. $\frac{4a^{2}b}{\sqrt[3]{2ac}} = \frac{4a^{2}b \sqrt[3]{4a^{2}c^{2}}}{2ac} = \frac{2ab}{c} \sqrt[3]{4a^{2}c^{2}}$.

2)

Смысл последнего действия состоит в том, что в знаменателе произведение суммы на разность преобразуется в разность квадратов, которая уже будет рациональным выражением.

Пример 2. Освободиться от иррациональности в знаменателе выражения:
а) $\frac{xy}{\sqrt{x^{2} + y^{2}} + x}$; б) $\frac{2}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$.

Решение, а) Умножаем числитель и знаменатель дроби на
выражение $\sqrt{x^{2} + y^{2}} - x$. Получаем (при условии, что $y \neq 0$)
$\frac{xy}{\sqrt{x^{2} + y^{2}} + x} = \frac{xy (\sqrt{x^{2} + y^{2}} - x)}{(x^{2} + y^{2}) – x^{2}} = \frac{x}{y} (\sqrt{x^{2} + y^{2}} - x)$;
б) $\frac{2}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{5 - 3} = \sqrt{5} + \sqrt{3}$.
3) В случае выражений типа
$\frac{A}{B \pm C \sqrt[3]{D}}, \frac{A}{\sqrt[3]{B} \pm C \sqrt[3]{D}}$
знаменатель рассматривается как сумма (разность) и умножается на неполный квадрат разности (суммы), чтобы получить сумму (разность) кубов. На тот же множитель умножается и числитель.

Пример 3. Освободиться от иррациональности в знаменателе выражений:
а)$\frac{3}{\sqrt[3]{5} + 1}$; б)$\frac{1}{\sqrt[3]{a} – 2 \sqrt[3]{b}}$

Решение, а) Рассматривая знаменатель данной дроби как сумму чисел $\sqrt[3]{5}$ и $1$, умножим числитель и знаменатель на неполный квадрат разности этих чисел:
$\frac{3}{\sqrt[3]{5} + 1} = \frac{3 (\sqrt[3]{5^{2}} - \sqrt[3]{5} +1)}{(\sqrt[3]{5} + 1)(\sqrt[3]{5^{2}} - \sqrt[3]{5} + 1)} = \frac{3(\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{5} + 1)}{(\sqrt[3]{5})^{3} +1}$,
или окончательно:
$\frac{3}{\sqrt[3]{5} + 1} = \frac{3( \sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{5} + 1)}{6} = \frac{\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{5} + 1}{2}$
б) $\frac{1}{\sqrt[3]{a} – 2 \sqrt[3]{b}} = \frac{\sqrt[3]{a^{2}} + 2 \sqrt[3]{ab} + 4 \sqrt[3]{b^{2}}}{( \sqrt[3]{a})^{3} – (2 \sqrt[3]{b})^{3}} = \frac{ \sqrt[3]{a^{2}} + 2 \sqrt[3]{ab} + 4 \sqrt[3]{b^{2}}}{a-8b}$.

В некоторых случаях требуется выполнить преобразование противоположного характера: освободить дробь от иррациональности в числителе. Оно проводится совершенно аналогично.

Пример 4. Освободиться от иррациональности в числителе $\frac{\sqrt{a+b} - \sqrt{a-b}}{2b}$.
Решение. $ \frac{\sqrt{a+b} - \sqrt{a-b}}{2b} = \frac{(a+b) – (a-b)}{2b(\sqrt{a+b} + \sqrt{a-b})} = \frac{1}{\sqrt{a+b} + \sqrt{a-b}}$