1. Синусоида (график функции $y = \sin x$).
1) Область определения (существования) функции:

$x$ - любое действительное число ($- \infty < x < + \infty$).

2) Область изменения функции:

$-1 \leq y \leq 1$.

3) Периодичность функции:

$\sin x$ - периодическая функция с основным периодом, равным $2 \pi$.

4) Четность функции:

$\sin x$ - нечетная функция, ибо $\sin (-х) = - \sin x$.

На основании пп. 3) и 4) достаточно построить график функции $y = \sin x$ на отрезке $[0, \pi]$, а затем продолжить его нечетно на отрезок $[- \pi, 0]$ и, наконец, то, что получится на отрезке $[- \pi, \pi]$, продолжить периодически на всю числовую ось. Итак, в дальнейшем будем изучать поведение нашей функции на отрезке $[0, \pi]$.

5) Точки пересечения с осями координат:
а) с осью $Oy (x = 0): y(0) = \sin 0 = 0$; график функции $y = \sin х$ проходит через начало координат;
6) с осью $Ox(у = 0)$ (нули функции).

Найдем те $x$, при которых $y = \sin x = 0$. Такими значениями будут числа $x_{k} = k \pi (k = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots)$. Нас интересуют $x_{k}$ из отрезка $[0, \pi]$. Такими хк будут $x_{0} = 0$ (уже найдено) и $x_{1} = \pi$, а остальные нули функции расположены вне отрезка $[0, \pi]$. Следовательно, нули $\sin x$ на отрезке $[0, \pi]$ совпадают с концами этого отрезка.

6) Наименьшие и наибольшие значения функции на отрезке $[0, \pi]$.

Функция $y = \sin x$ на отрезке $\left [0, \frac{ \pi}{2} \right ]$ монотонно возрастает от 0 до +1, а на отрезке $[\pi/2, \pi]$ монотонно убывает от +1 до 0. Следовательно, наименьшими значениями будут $y(0) = \sin 0 = 0$ и $y( \pi ) = \sin x = 0$; наибольшее значение достигается в одной точке: $y \left ( \frac{ \pi}{2} \right ) = \sin \left ( \frac{ \pi}{2} \right ) = 1$.

7) Интервалы знакопостоянства функции.

На исследуемом отрезке $[0, \pi ]$ наша функция всюду неотрицательна, т. е. $y = \sin x \geq 0$.

8) На основании неравенств $0 \leq \sin x \leq x$ для $0 \leq x \leq \frac{ \pi}{2}$ мы заключаем, что наша синусоида на отрезке $ [0, \pi]$ должна располагаться ниже биссектрисы $y = х$ первого координатного угла. Так как при этом $x - \sin x \leq \frac{ x^{3}}{2}$, т. е. является при малых $x$ весьма малой величиной, то график $y = \sin х$ близок к графику $y = х$ (касается биссектрисы $I$ координатного угла).

После того как функция исследована, приступаем к построению ее графика. Для этого найдем некоторые «опорные» точки его, а затем соединим их плавной линией с учетом свойств функции $\sin x$. Для построения некоторых «опорных» точек можно, например, применить два способа.

Первый способ. Составим таблицу значений для $\sin x$ на отрезке $\left [0, \frac{ \pi}{2} \right ]$ с шагом $h = 0,2$ с точностью до 0,01. (Длина последнего отрезка $\left [ 1,4; \frac{ \pi}{2} \right ]$ на оси $Ox$ немного меньше 0,2).



Значения для синуса взяты из таблицы тригонометрических функций.


Второй способ. Воспользуемся геометрическими соображениями. Рассмотрим первую четверть единичной окружности (рис.). Разделим ее и соответствующий ей отрезок $\left [0, \frac{ \pi}{2} \right ]$ оси $Ox$, например, на 8 равных частей. Величина перпендикуляра, опущенного из точки деления окружности на ось Ох, численно равна значению синуса соответствующего угла и значению синуса соответствующего числового аргумента из отрезка $\left [0, \frac{ \pi}{2} \right ]$ оси $Ox$. Во второй четверти $\left ( \frac{ \pi}{2} \leq x \leq \pi \right )$ синус убывает от 1 до 0. На основании нашего геометрического построения можно заключить, что график синуса во второй четверти $\left ( \frac{ \pi}{2} \leq x \leq \pi \right )$ симметричен его графику в первой четверти относительно прямой $x = \frac{ \pi}{2}$.

Соединив полученные вторым (или первым) способом «опорные» точки плавной линией, мы получим график синуса (синусоиду) на отрезке $[0, \pi]$. При проведении линии (построении графика) следует иметь в виду свойства 2), 6), 7) и 8). Затем продолжим график синуса на отрезок $[- \pi, 0]$, используя нечетность синуса, а именно построим на отрезке $[-\pi, 0]$ график, симметричный графику синуса на отрезке $[0, \pi]$ относительно начала координат. Имея график синуса, построенный на отрезке $[-\pi, \pi]$, мы, используя его периодичность, сможем продолжить его на всю числовую ось (рис.).


2. График функции $y = \cos x$. На основании формулы приведения мы Имеем $y = \cos x = \sin \left ( \frac{ \pi}{2} + x \right )$.


Следовательно, график косинуса - это синусоида, сдвинутая по оси $Ox$ влево на $\frac{ \pi}{2}$. График косинуса построен на рис.

3. Тангенсоида (график функции $y = tg x$).
1) Область определения функции:

$x$ - любое действительное число, кроме чисел вида $x_{n} = \frac{ \pi}{2} (2n+1)$, где $n = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots$.

2) Область изменения функции:

$- \infty < у < + \infty$.

3) Периодичность функции:
$tg x$ - периодическая функция с основным периодом,равным $\pi$.

4) Четность функции:
$tg x$ - нечетная функция, ибо $tg(-х) = -tg x$.

На основании 3) и 4) достаточно построить график функции $y = tg x$ на отрезке $\left [0, \frac{ \pi}{2} \right ]$, а далее продолжить его нечетно на отрезок $\left [ - \frac{ \pi}{2}, 0 \right ]$ и, наконец, то, что получится на отрезке $\left [ - \frac{ \pi}{2}, \frac{ \pi}{2} \right ]$, продолжить периодически на всю числовую ось. Итак, в дальнейшем будем изучать поведение нашей функции на отрезке $\left [0, \frac{ \pi}{2} \right ]$.

5) Точки пересечения с осями координат:
а) с осью $Oy(x = 0)$: $y(0) = tg 0 = 0$; график функции $y = tg x$ проходит через начало координат;
6) с осью $Ox (у = 0)$ (нули функции).

Найдем те значения $x$, при которых $tg x = 0$. Такими значениями будут $x_{k} = k \pi (k = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots)$. Нас интересуют хк из отрезка $\left [ 0, \frac{ \pi}{2} \right ]$: $x_{0} = 0$ (уже найдено), а остальные нули функции расположены вне отрезка $\left [0, \frac{ \pi}{2} \right ]$. Следовательно, единственный нуль $tg х$, находящийся на отрезке $\left [0, \frac{ \pi}{2} \right ]$, совпадает с левым концом этого отрезка.

6) Вертикальные асимптоты:
$tg x$ определен всюду на отрезке $\left [0, \frac{ \pi}{2} \right ]$, кроме точки $x = \frac{ \pi}{2}$.

Так как $tg x \rightarrow + \infty$ при $x \rightarrow \frac{ \pi}{2}, x < \frac{ \pi}{2}$, то прямая $x = \frac{ \pi}{2}$ является вертикальной асимптотой для графика функции $y = tg x$.

7) Наименьшие и наибольшие значения функции на отрезке $\left [0, \frac{ \pi}{2} \right ]$.

Функция $tg x$ на отрезке $\left [0, \frac{ \pi}{2} \right ]$ монотонно возрастает от 0 до $+ \infty$. Следовательно, наименьшее значение будет $y(0) = tg 0 = 0$, а наибольшего значения не будет, ибо $tg x \rightarrow + \infty$, когда $x \rightarrow \frac{ \pi}{2}, x < \frac{ \pi}{2}$.

8) Интервалы знакопостоянства функции.

На исследуемом отрезке $\left [0, \frac{ \pi}{2} \right ]$ функция $tg x$ всюду неотрицательна, т. е. $y = tg x \geq 0$. Следовательно, график функции лежит над осью $Ox$. На основании неравенств $0 \leq \sin x \leq x \leq tg x$ для $0 \leq x < \frac{ \pi}{2}$ мы заключаем, что тангенсоида на отрезке $\left [ 0, \frac{ \pi}{2} \right ]$ должна располагаться выше биссектрисы $y = х$ первого координатного угла.

После того как функция исследована, приступаем к построению ее графика. Для этого найдем некоторые «опорные» точки его, а затем соединим их плавной линией с учетом свойств функции $tg x$. Для построения «опорных» точек можно применять один из двух уже знакомых нам способов.

Первый способ. Составим таблицу значений для $tg x$ на отрезке $\left [0, \frac{ \pi}{2} \right ]$ с шагом $h = 0,2$ и с точностью до 0,01. (Длина последнего отрезка $\left [1,4; \frac{ \pi}{2} \right ]$ на оси $Ox$ немного меньше 0,2.)



Значения для тангенса взяты из таблицы тригонометрических функций.

Второй способ. Воспользуемся геометрическими соображениями аналогично тому, как мы это делали в случае построения графика функции $y = \sin x$. Разделим опять первую четверть единичной окружности и соответствующий ей отрезок $\left [0, \frac{ \pi}{2} \right ]$ оси $Ox$, например, на 8 равных частей. На оси тангенсов получим отрезки, численно равные тангенсам соответствующих углов.


Далее, эти отрезки перенесем в соответствующие точки оси $Ox$. Концы их соединим плавной линией и получим график функции $y = tg x$ (рис.). Вся тангенсоида изображена на рис.



4. График функции $y = ctg x$ изображен на рис.
Рекомендуем читателю самостоятельно построить его двумя способами:

1) составить таблицу значений для $ctg x$ на отрезке $\left [0, \frac{ \pi}{2} \right ]$ с шагом $h = 0,2$ и точностью до 0,01;
2) воспользоваться формулой приведения $ctg x = - tg \left ( х + \frac{ \pi}{2} \right )$.

Указания к способу 1). При составлении таблицы значений для $ctg x$: воспользоваться формулой $ctg x = \frac{1}{tg x}$ и таблицей тригонометрических функций, например: $ctg 1,0 = \frac{1}{tg 1,0} = \frac{1}{1,557} = 0,64$.

Указания к способу 2). 1) Построить график функции $y = tg х$;
2) сдвинуть построенный график влево по оси $Ox$ на $\frac{ \pi}{2}$ (получим график функции $y = tg \left (x + \frac{ \pi}{2} \right )$);

3) последний график зеркально отразить (перевернуть) относительно оси $Ox$ (после выполнения последнего действия получим график функции $y = ctg x$).