Определитель, детерминант
главную диагональ определителя
побочную диагональ определителя
определенная система
несовместная система
неопределенная система
В теории систем линейных уравнений и в некоторых других вопросах удобно использовать понятие определителя, или детерминанта. Рассмотрим какую-либо четверку чисел $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, записанных в виде квадратной таблицы (матрицы) по два в строках и по два в столбцах.
Определителем или детерминантом, составленным из чисел этой таблицы, называется число $ad - bc$, обозначаемое так:
$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$. (1)
Такой определитель называется определителем второго порядка, поскольку для его составления взята таблица из двух строк и двух столбцов. Числа, из которых составлен определитель, называются его элементами; при этом говорят, что
элементы $а$ и $d$ составляют главную диагональ определителя
, а
элементы $b$ и $с$ - его побочную диагональ.
Видно, что определитель равен разности произведений пар элементов, стоящих на его главной и побочной диагоналях.
С помощью определителей можно равенства (6), (7) и (8) из параграфа "Линейные системы" переписать, поменяв местами их части, так:
$\Delta = \begin{vmatrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{vmatrix}$, (2)
$\Delta_{x} = \begin{vmatrix} c_{1} & b_{1} \\ c_{2} & b_{2} \end{vmatrix}$, (3)
$\Delta_{y} = \begin{vmatrix} a_{1} & c_{1} \\ a_{2} & c_{2} \end{vmatrix}$, (4)
Заметим, что определители $\Delta, \Delta_{x}$ и $\Delta_{y}$ весьма просто составляются по коэффициентам системы $\begin{cases} a_{1}x + b_{1}y = c_{1} \\ a_{2}x + b_{2}y = c_{2} \end{cases}$. Действительно, определитель $\Delta$ составляется из коэффициентов при неизвестных в этой системе. Он называется глазным определителем системы. Назовем $\Delta_{x}$ и $\Delta_{y}$ определителями для неизвестных $x$ и $y$ соответственно. Можно сформулировать следующее правило их составления: определитель для каждой из неизвестных получается из главного определителя, если в нем столбец коэффициентов при этой неизвестной заменить столбцом свободных членов (взятых из правых частей уравнений системы).
Проведем теперь исследование системы линейных уравнений $\begin{cases} a_{1}x + b_{1}y = c_{1} \\ a_{2}x + b_{2}y = c_{2} \end{cases}$. Для этого вернемся к равенствам $\Delta \cdot x = \Delta_x, \Delta \cdot y = \Delta_y$ и будем различать два случая: $\delta \neq 0$ и $\delta = 0$.
1) Пусть $\Delta \neq 0$. Тогда, как уже отмечалось, формулы $\begin{cases} x = \frac{ \Delta_{x}}{ \Delta} \\ y = \frac{ \Delta_{y}}{ \Delta} \end{cases} $ дают единственное решение системы.
Итак, если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, определяемое формулами; такая система называется определенной.
2) Пусть теперь $\Delta = 0$. В зависим от значений $\Delta_{x}, \Delta_{y}$ будем различать два случая.
а) Хотя бы один из определителей $\Delta_{х}, \Delta_{y}$ отличен от нуля, тогда система не имеет решений. Действительно, пусть, например, $\Delta_{x} \neq 0$.
Равенство $\Delta \cdot x = \Delta_{x}$ не может удовлетворяться ни при каком значении $x$ так как это равенство получено как следствие системы, то система не имеет решений. Такая система называется несовместной.
б) Оба определителя $\Delta_{x}, \Delta_{y}$ равны нулю; равенства $\Delta \cdot x = \Delta_{x}$ и $\Delta \cdot y = \Delta_{y}$ удовлетворяются тождественно и для исследования системы использованы быть не могут. Докажем, что если $\Delta = 0, \Delta_{x} = \Delta_{y} = 0$ и хотя бы один из коэффициентов при неизвестных в системе отличен от нуля, то система имеет бесконечнее множество решений. Чтобы убедиться в этом, допустим, например, что $a_{1} \neq 0$. Из соотношений
$\Delta = a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1} = 0, \Delta_{x} = b_{2}c_{1} - b_{1}c_{2} = 0, \Delta_{y} = a_{1}c_{2} - a_{2}c_{1} = 0$ (5)
получим
$b_{2} = a_{2} \frac{b_{1}}{a_{1}}, c_{2} = a_{2} \frac{c_{1}}{a_{1}}$ (6)
и из записи второго уравнения системы, подставляя в него выражения коэффициентов $b_{2}, c_{2}$,
$a_{2}x + a_{2} \frac{b_{1} }{a_{1} }y = a_{2} \frac{b_{1} }{a_{1} }$,
или
$\frac{a_{2}}{a_{1}} a_{1} x + \frac{a_{2}}{a_{1}} b_{1} x = \frac{a_{2}}{a_{1}} c_{1}$,
найдем, что оно отличается от первого уравнения лишь множителем $\frac{a_{2}}{a_{1}}$, т. е., по существу, совпадает с ним (равносильно ему).
Система
$\begin{cases} a_{1}x + b_{1}y = c_{1} \\ a_{2}x + b_{2}y = c_{2} \end{cases}$
сводится к одному лишь первому уравнению и определяет бесчисленное множество решений (такая система называется неопределенной)
. Возможен, в принципе, и такой крайний случай, как равенство нулю всех коэффициентов при неизвестных (он может встретиться при исследовании систем с буквенными коэффициентами). У такой системы
$0 \cdot x + 0 \cdot y = c_{1}$,
$0 \cdot x + 0 \cdot y = c_{2}$
все определители равны нулю: $\Delta = \Delta_{x} = \Delta_{y} = 0$, однако, она является несовместной при $c_{1}$ или $c_{2} \neq 0$.
Подведем итоги исследования системы линейных уравнений. Имеется три вида таких систем:
1) Если $\Delta \neq 0$, то система определенная, имеет единственное решение $\begin{cases} x = \frac{ \Delta_{x}}{ \Delta} \\ y = \frac{ \Delta_{y}}{ \Delta } \end{cases}$.
2) Если $\Delta = 0$, но $\Delta_{x} \neq 0$ (или $\Delta_{y} \neq 0$), то система несовместна, решений не имеет.
3) Если $\Delta = \Delta_{x} = \Delta_{y} = 0$ (но хотя бы один из коэффициентов при неизвестных отличен от нуля), то система неопределенная, имеет бесконечное множество решений (сводится к одному уравнению).
Равенство нулю определителя,
$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc = 0$,
означает пропорциональность элементов, стоящих в его строках (и обратно):
$\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$.
В силу этого признаки, отличающие линейные системы разных типов (определенные, неопределенные, несовместные), могут быть сформулированы в терминах пропорций между коэффициентами системы (без привлечения определителей).
Условие $\Delta = 0$ ($\Delta = 0$) заменяется поэтому требованием пропорциональности (непропорциональности) коэффициентов при неизвестных:
$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}}$, если $\Delta = 0$;
$\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$, если $\Delta \neq 0$.
В случае $\Delta = \Delta_{x} = \Delta_{y} = 0$ оказываются пропорциональными не только коэффициенты при неизвестных, но и свободные члены:
$\frac{a_{1} }{a_{2} } = \frac{b_{1} }{b_{2} } = \frac{c_{1} }{c_{2} }$
(эти пропорции получаются, например, из $b_{2} = a_{2} \frac{b_{1}}{a_{1}}, c_{2} = a_{2} \frac{c_{1}}{a_{1}}$). Если же, например, $\Delta_{x} \neq 0$, то из $a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1} = \Delta$ видим, что $\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$ - свободные члены не пропорциональны коэффициентам при неизвестных. Итак:
1) Если коэффициенты при неизвестных не пропорциональны:
$\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$
то система определенная.
2) Если коэффициенты при неизвестных пропорциональны, а свободные члены им не пропорциональны:
$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$,
то система несовместная.
3) Если пропорциональны коэффициенты при неизвестных и свободные члены:
$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$,
то система неопределенная.
Проведенное исследование систем линейных уравнений с двумя неизвестными допускает простое геометрическое истолкование. Всякое линейное уравнение определяет на координатной плоскости прямую линию. Уравнения системы $\begin{cases} a_{1}x + b_{1}y = c_{1} \\ a_{2}x + b_{2}y = c_{2} \end{cases}$ можно поэтому истолковать как уравнения двух прямых на плоскости, а задачу решения системы - как задачу об отыскании точки пересечения этих прямых. Ясно, что возможны три случая: 1) данные две прямые пересекаются (рис. а); этот случай отвечает определенной системе; 2) данные две прямые параллельны (рис. б); этот случай соответствует несовместной системе;
3) данные прямые совпадают (рис. в); этот случай соответствует неопределенной системе: каждая точка «дважды заданной» прямой будет решением системы.