Введем основные тригонометрические функции.


Пусть радиус-вектор $\vec{r} = \bar{OM}$ точки $M$ образует угол $\alpha$ с осью $Ox$ (рис.), причем $x$ и $y$ соответственно абсцисса и ордината конца $M$ вектора, $r$ - его модуль, а величина угла $\alpha$ измеряется в градусах или в радианах.Ниже (замечание 1) мы покажем, что $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$, определенные равенствами (1) и (2), действительно зависят лишь от угла $\alpha$ (но не от радиуса окружности $r$).Замечание 1. Тригонометрические функции (1) - (6) действительно являются функциями только угла $\alpha$, т. е. не зависят от длины подвижного радиуса-вектора. Для того чтобы в этом убедиться, достаточно доказать, что если подвижный радиус-вектор $\vec{r}$ образует с осью абсцисс данный угол $\alpha$, то отношения $\frac{х}{r}$ и $\frac{у}{r}$ не зависят от длины радиуса-вектора.

Замечание 2. Из определения $tg \alpha$ и $ctg \alpha$ следует, что

$tg \alpha = \frac{y}{x}$, (7)
$ctg \alpha = \frac{x}{y}$. (8)

Соотношения (7) и (8) можно было бы принять в качестве определений для $tg \alpha$ и $ctg \alpha$.

Замечание 3. Аналогично получаем

$sec \alpha = \frac{r}{x}$,(9)
$cosec \alpha = \frac{r}{y}$ (10).

Соотношения (9) и (10) можно было бы также принять в качестве определений для $sec \alpha$ и $\cosec \alpha$.

Замечание 4. Во всех определениях (1) - (6) предполагаем, что соответствующие отношения существуют (имеют смысл). Например, $tg \alpha$ имеет смысл, если $\cos \alpha \neq 0, ctg \alpha$ имеет смысл, если $\sin \alpha \neq 0$, и т.д. Поскольку (замечание 1) тригонометрические функции (1) - (6) угла $\alpha$ не зависят от длины подвижного радиуса-вектора, то в качестве радиуса-вектора можно брать вектор с длиной, равной единице $(| \vec{r}| = r = 1)$. Такой вектор называют единичным радиусом-вектором. В случае единичного радиуса-вектора формулы для основных тригонометрических функций запишутся так (рис.):


$\begin{cases} \sin \alpha = y, \cos \alpha = x \\ tg \alpha = \frac{y}{x}, ctg \alpha = \frac{x}{y} \\ sec \alpha = \frac{1}{x}, cosec \alpha = \frac{1}{y} \end{cases}$. (11)

Формулы для $tg \alpha$ и $ctg \alpha$ остались прежними (см. (7) и (8)), а формулы для остальных основных тригонометрических функций приняли более простой вид (см. (1), (2), (9) и (10)). Следовательно, синус и косинус угла а равны соответственно ординате и абсциссе конца подвижного единичного радиуса-вектора. Конец этого единичного радиуса-вектора при изменении угла а от $0^{\circ}$ до $360^{\circ}$ опишет окружность, называемую единичной окружностью (рис.). Для геометрического истолкования тангенса и котангенса вводят понятия оси тангенсов и оси котангенсов. Осью тангенсов называется перпендикуляр, восставленный в точке $A$ к неподвижному радиусу-вектору $\bar{OA}$. Положительное и отрицательное направления на оси тангенсов выбирают так, чтобы они совпадали с соответствующими направлениями оси ординат (рис.). Рассмотрим угол $\alpha = \angle AOM$ и введем понятие соответствующей точки оси тангенсов.


а) Если точка $M$ единичной окружности лежит справа от оси ординат, то соответствующей ей точкой оси тангенсов назовем точку $M_{1}$ (точку пересечения продолжения $MO$ с осью тангенсов, рис а.

б) Если точка $M$ единичной окружности лежит слева от оси ординат, то соответствующей ей точкой сси тангенсов назовем точку $M_{1}$ (точку пересечения продолжения $MO$ с ссыо тангенсов, рис. б.

Заметим, что тангенс угла а численно равен ординате $y_{1}$ (рис.) соответствующей точки сси тангенсов, т. е. всегда $tg \alpha - y_{1}$. Докажем это для углов первых двух четвертей:

1) $0^{\circ} \leq \alpha < 90^{\circ}$ (рис. a), $tg \alpha = \frac{y_{1}}{1} = y_{1} \geq 0$, где $y_{1}$ - ордината точки $M_{1}$.
2) $90^{\circ} < \alpha \leq 180^{\circ}$ (рис. б). $tg \alpha = \frac{y_{2}}{x_{2}} \leq 0$, где $x_{2}$ и $y_{2}$ - абсцисса и ордината точки $M$. Из подобия прямоугольных треугольников $OMM_{2}$ и $OM_{1}A$ имеем

$\frac {|y_{2}|}{|x_{2}|} = \frac {|y_{1}|}{1}$,

или

$\frac {y_{2}}{- x_{2}} = \frac {- y_{1}}{1}$, т.е. $\frac {|y_{2}|}{|x_{2}|} = y_{1}$.

Следовательно, $tg \alpha = \frac{y_{2}}{x_{2}} = y_{1} \leq 0$.

Заметим еще следующее:
а) если точка $M$ лежит на оси ординат (например, $\alpha = 270^{\circ}$), то соответствующей ей точки сси тангенсов не существует, но при этом и $tg \alpha$ также не существует;
б) в рассмотренных случаях 1)-2) мы брали угол $\alpha$ в пределах от $0^{\circ}$ до $360^{\circ}$, но в наших рассуждениях ничего не изменится, если мы будем предполагать угол $\alpha$ любым.


Осью котангенсов называется перпендикуляр, восставленный в точке В (конец радиуса-вектора $\bar {OB}$, образующего с осью $Ox$ угол, равный $90^{\circ}$) к оси ординат. Положительное и отрицательное направления на оси котангенсов выбирают так, чтобы они совпадали с соответствующими направлениями оси абсцисс (рис.). Введем понятие соответствующей точки оси котангенсов.

а) Если точка $M$ единичной окружности лежит над осью абсцисс, то соответствующей ей точкой оси котангенсов назовем точку $M_{1}$ (точку пересечения продолжения $OM$ с осью котангенсов, рис. а).

б) Если точка $M$ единичной окружности лежит под осью абсцисс, то соответствующей ей точкой сси котангенсов назовем точку (точку пересечения продолжения $MO$ с осью котангенсов, рис. б).

Аналогично предыдущему можно получить, что котангенс угла $\alpha$ равен абсциссе $x_{1}$ соответствующей точки оси котангенсов, т. е. $ctg \alpha = x_{1}$. Если точка $M$ лежит на оси абсцисс (например, $\alpha - 180^{\circ}$), то соответствующей ей точки оси котангенсов не существует, но при этом и $ctg \alpha$ также не существует.