В соотношении
$a^{x} = N$
может быть поставлена задача отыскания любого из трех чисел $a, N, x$ по двум другим, заданным. Если даны $a$ и $x$, то $N$ находят действием возведения в степень. Если даны $N$ и $x$, то $a$ находят извлечением корня степени $x$ (или возведением в степень $1/x$). Теперь рассмотрим случай, когда по заданным $a$ и $N$ требуется найти $x$.

Пусть число $N$ положительно: $N > 0$, число а положительно и не равно единице: $a > 0, a \neq 1$.$a^{log_{a}N} = N$. (1)

Таким образом, в равенстве (1) показатель степени $x$ находят как логарифм $N$ по основанию $a$. Записи

$a^{x} = N$ и $x = log_{a}N$ (2)

имеют одинаковый смысл. Равенство (1) иногда называют основным тождеством теории логарифмов; в действительности оно выражает определение понятия логарифма. По данному определению основание логарифма $a$ всегда положительно и отлично от единицы; логарифмируемое число $N$ положительно. Отрицательные числа и нуль логарифмов не имеют. Можно доказать, что всякое число $N > 0$ при данном основании $a(a > 0, a \neq 1)$ имеет вполне определенный логарифм. Поэтому равенство $a^{x} = a^{y}$ влечет за собой $x = y$. Заметим, что здесь существенно условие $a \neq 1$, в противном случае вывод $x = y$ был бы не обоснован, так как равенство $1^{x} = 1^{y}$ верно при любых значениях $x$ и $y$.

Пример 1. Найти $log_{2} \frac{1}{8}$.
Решение. Для получения числа $\frac{1}{8}$ следует возвести основание $2$ в степень $ - 3: 2^{-3} = \frac{1}{2^{3}} = \frac{1}{8}$. Поэтому. $log_{2} \frac{1}{8} = -3$.
Можно проводить записи при решении таких примеров в следующей форме:

$2^{x} = \frac{1}{8} = \left ( \frac{1}{2} \right )^{3} = 2^{-3}, x = -3$

Пример 2. Найти $log_{\frac{1}{3}} 9 \sqrt[3]{3}$.
Решение. Имеем
$9 \sqrt[3]{3} = 3^{2} \cdot 3^{ \frac{1}{3}} = 3^{ \frac{2}{3}} = \left ( \frac{1}{3} \right )^{- \frac{2}{3}}; log_{ \frac{1}{3}} 9 \sqrt[3]{3} = - \frac{2}{3}$.

Рассмотрим некоторые свойства логарифмов.

Свойство 1. Если число и основание равны, то логарифм равен единице, и, обратно, если логарифм равен единице, то число и основание равны.

Доказательство. Пусть $N = a$. По определению логарифма имеем $a^{log_{a}a} = a = a^{1}$, откуда

$log_{a} a = 1$. (3)

Обратно, пусть $log_{a}N = 1$. Тогда по определению $N = a^{log_{a}N} = a^{1} = a$.

Свойство 2. Логарифм единицы по любому основанию равен нулю.

Доказательство. По определению логарифма $a^{log_{1}1} = 1 = a^{0}$ (нулевая степень любого положительного основания равна единице). Отсюда

$log_{a} 1 = 0$, (4)

что и требовалось доказать.

Верно и обратное утверждение: если $log_{a}N = 0$, то $N = 1$. Действительно, имеем $N = a^{log_{a}N} = a^{0} = 1$.

Прежде чем сформулировать следующее свойство логарифмов, условимся говорить, что два числа $a$ и $b$ лежат по одну сторону от третьего числа $c$, если они оба либо больше $c$, либо меньше $c$. Если одно из этих чисел больше $c$, а другое меньше $c$, то будем говорить, что они лежат по разные стороны от $c$.

Свойство 3. Если число и основание лежат по одну сторону от единицы, то логарифм положителен; если число и основание лежат по разные стороны от единицы, то логарифм отрицателен.

Доказательство свойства 3 основано на том, что степень $a^{x}$ больше единицы, если основание больше единицы и показатель положителен или основание меньше единицы и показатель отрицателен. Степень меньше единицы, если основание больше единицы и показатель отрицателен или основание меньше единицы и показатель положителен.

Требуется рассмотреть четыре случая:
$a > 1, N > 1, (log_{1}N > 0)$:
$a > 1, N < 1, (log_{a}N < 0)$;
$a < 1, N > 1, (log_{a}N < 0)$;
$a < 1, N < 1, (log_{a}N > 0)$.

Ограничимся разбором первого из них, остальные читатель рассмотрит самостоятельно.

Пусть $a > 1, N > 1$; тогда в равенстве $a^{log_{a}N} = N$ показатель степени не может быть ни отрицательным, ни равным нулю, следовательно, он положителен, т. е. $log_{a} N > 0$, что и требовалось доказать.

Пример 3. Выяснить, какие из указанных ниже логарифмов положительны, какие отрицательны: а) $log_{12} 15$; б) $log_{1000} 2$; в) $log_{3,1} 0,8$; г) $log_{ \frac{2}{3}} \frac{2}{7}$; д) $log_{0,3} 2,1$.

Решение, а) $log_{12} 15 > 0$, так как число $15$ и основание $12$ расположены по одну сторону от единицы;

б) $log_{1000} 2 > 0$, так как 1000 и 2 расположены по одну сторону от единицы; при этом несущественно, что основание больше логарифмируемого числа;

в) $log_{3,1} 0,8 < 0$, так как $3,1$ и $0,8$ лежат по разные стороны от единицы;

г) $log_{\frac{2}{3}} \frac{2}{7} > 0$; почему?

д) $log_{0,3} 2,1 < 0$; почему?

Следующие свойства 4—6 часто называют правилами логарифмирования: они позволяют, зная логарифмы некоторых чисел, найти логарифмы их произведения, частного, степени каждого из них.

Свойство 4 (правило логарифмирования произведения). Логарифм произведения нескольких положительных чисел по данному основанию равен сумме логарифмов этих чисел по тому же основанию.

Доказательство. Пусть даны положительные числа $N_{1},N_{2}, \cdots, N_{k}$. Для логарифма их произведения напишем определяющее логарифм равенство (1):

$a^{log_{a}N_{1}N_{2} \cdots N_{k}} = N_{1}N_{2} \cdots N_{k}$.

Отсюда найдем

$a^{log_{a}N_{1}N_{2} \cdots N_{k}} = a^{log_{a}N_{1}}a^{log_{a}N_{2}} \cdots a^{log_{a}N_{k}} = a^{log_{a}N_{a} + log_{a}N_{2} + \cdots + log_{a}N_{k}}$.

Сравнив показатели степени первого и последнего выражений, получим требуемое равенство:

$log_{a} N_{1}N_{2} \cdots N_{k} = log_{a} N_{1} + log_{a} N_{2} + \cdots + log_{a} N_{k}$. (5)

Заметим, что условие $N_{1} > 0, \cdots , N_{k} > 0$ существенно; логарифм произведения двух отрицательных чисел $N_{1} < 0, N_{2} < 0$ имеет смысл, но в этом случае получим

$log_{a}(N_{1}N_{2}) = log_{a} [(-N_{1})(-N_{2})] = log |N_{1}| \cdot |N_{2}| = log_{a} |N_{1}| + log_{a} |N_{2}|$.

В общем случае, если произведение нескольких сомножителей положительно, то его логарифм равен сумме логарифмов модулей этих сомножителей.

Свойство 5 (правило логарифмирования частного). Логарифм частного положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя, взятых по тому же основанию.

Доказательство. Последовательно находим

$a^{log_{a} \frac{N_{1}}{N_{2}}} = \frac{N_{1}}{N_{2}} = \frac{a^{log_{a}N_{1}}}{a^{log_{a}N_{2}}} = a^{log_{a}N_{1} – log_{a}N_{2}}$

откуда

$log_{a} \frac{N_{1}}{N_{2}} = log_{a}N_{1} – log_{a}N_{2}$, (6)

что и требовалось доказать.

Свойство 6 (правило логарифмирования степени). Логарифм степени какого-либо положительного числа равен логарифму этого числа, умноженному на показатель степени.

Доказательство. Запишем снова основное тождество (1) для числа $N^{n}$:
$a^{log_{a}N^{n}} = N^{n} = (a^{log_{a}N})^{n} = a^{n} log_{a} N$

отсюда

$log_{a} N^{n} = n log_{a}N$, (7)

что и требовалось доказать.

Следствие. Логарифм корня из положительного числа равен логарифму подкоренного числа, деленному на показатель корня:

$log_{a} \sqrt[n]{N} = \frac{1}{n} log_{a}N$. (8)

Доказать справедливость этого следствия можно, представив $\sqrt[n]N$ как $N^{1/n}$ и воспользовавшись свойством 6.

Пример 4. Прологарифмировать по основанию $a$:
а) $\sqrt[7]{ \frac{b^{2}c^{3}}{d^{4}e^{5}}}$ (предполагается, что все величины $b, c, d, e$ положительны);
б) $\sqrt[5]{\frac{(b+c)^{2}}{d-e}^{3}}$ (предполагается, что $b+c > 0$ и $d – e > 0$).

Решение, а) Удобно перейти в данном выражении к дробным степеням:

$\sqrt[7]{ \frac{b^{2}c^{3}}{d^{4}e^{5}}} = \frac{b^{\frac{2}{7}}c^{\frac{3}{7}}}{d^{\frac{4}{7}}e^{\frac{5}{7}}}$

На основании равенств (5)—(7) теперь можно записать:

$log_{a} \sqrt[7]{\frac{b^{2}c^{3}}{d^{4}e^{5}}} = \frac{2}{7} log_{a}b + \frac{3}{7} log_{a} c - \frac{4}{7} log_{a} d - \frac{5}{7} log_{a} e$.

б) Имеем

$log_{a} \sqrt[5]{ \frac{(b+c)^{2}}{(d-e)^{3}}} = \frac{2}{5} log_{a}(b+c) - \frac{3}{5} log_{a} (d-e)$.

Мы замечаем, что над логарифмами чисел производятся действия более простые, чем над самими числами: при умножении чисел их логарифмы складываются, при делении — вычитаются и т.д.

Именно поэтому логарифмы получили применение в вычислительной практике.При потенцировании надо пользоваться правилами, обратными по отношению к правилам логарифмирования: сумму логарифмов заменить логарифмом произведения, разность логарифмов—логарифмом частного и т. д. В частности, если перед знаком логарифма находится какой-либо множитель, то его при потенцировании нужно переносить в показатель степени под знак логарифма.

Пример 5. Найти $N$, если известно, что
$log_{a} N = \frac{2}{3} log_{a} b - \frac{1}{3} log_{a} c$.

Решение. В связи с только что высказанным правилом потенцирования множители $\frac{2}{3}$ и $\frac{1}{3}$, стоящие перед знаками логарифмов в правой части данного равенства, перенесем в показатели степени под знаками этих логарифмов; получим

$log_{a} N = log_{a} b^{\frac{2}{3}} – log_{a} c^{\frac{1}{3}}$

Теперь разность логарифмов заменим логарифмом частного:

$log_{a} N = log_{a} \frac{b^{\frac{2}{3}}}{c^{ \frac{1}{3}}}$

отсюда

$N = \frac {b^{ \frac{2}{3}}}{c^{ \frac{1}{3}}} = \frac{\sqrt[3]{b^{2}}}{\sqrt[3]{c}} = \frac{\sqrt[3]{b^{2}c^{2}}}{c}$;

для получения последней дроби в этой цепочке равенств мы предыдущую дробь освободили от иррациональности в знаменателе

Свойство 7. Если основание больше единицы, то большее число имеет больший логарифм ($a$ меньшее—меньший)-, если основание меньше единицы, то большее число имеет меньший логарифм ($a$ меньшее—больший).

Это свойство формулируют также и как правило логарифмирования неравенств, обе части которых положительны:

При логарифмировании неравенств по основанию, большему единицы, знак неравенства сохраняется, а при логарифмировании по основанию, меныиему единицы, знак неравенства меняется на противоположный.

Доказательство основано на свойствах 5 и 3. Рассмотрим случай, когда $a > 1$. Если $N > M > 0$, то $N/M > 1$ и, логарифмируя, получим

$log_{a} \frac{N}{M} = log_{a} N – log_{a} M > 0$ ($a$ и $N/M$ лежат по одну сторону от единицы). Отсюда

$log_{a} N > log_{a} M$