Функция, независимая переменная, область определения
Геометрия, механика, физика, различные области науки и техники дают нам множество примеров, когда рассматриваемые в том или ином вопросе переменные величины находятся в зависимости, так что значение одной из величин определяет значение другой. Площадь круга полностью определяется величиной его радиуса: $S = \pi R^{2}$. Скорость точки, движущейся равноускоренно, зависит от времени по закону $v = v_{0} + at$. Давление идеального газа при постоянном объеме $V_{0}$ изменяется в зависимости от температуры: $P=RT/V_{0}$. Во всех указанных примерах, несмотря на различие смысла входящих в них величин, есть нечто общее: задание значения одной из двух рассматриваемых переменных величин определяет значение второй величины. Такого рода зависимости между двумя переменными называют функциональными зависимостями.
Сформулируем определение понятия функции: переменная $y$ называется функцией переменной $x$, если каждому значению $x$ (из некоторой области $X$ изменения $x$) поставлено в соответствие по определенному закону значение $y$. При этом $x$ называется независимой переменной (иногда аргументом), а область ее изменения $X$ — областью определения (или существования) функции $y$. Множество значений, принимаемых $y$ при изменении $x$, называется, как обычно, областью изменения $y$.
В принятом определении функции существенны два момента: во-первых, в нем указана область изменения $X$ независимой переменной $x$, и, во-вторых, в нем требуется наличие определенного правила соответствия между $y$ и $x$.
Тот факт, что $y$ есть функция от $x$, выражают в записи так:
$y = f(x)$
(произносится: «игрек есть эф от икс»). Буквой $f$ в этом равенстве обозначен именно закон соответствия между $x$ и $y$.
Схематически можно изобразить это так: будем рассматривать две числовые оси $x$ и $y$ (рис.); пусть $X$ — область определения функции $y = f(x)$. Каждой точке $x$ из этой области ставится в соответствие некоторая точка оси $y$ (закон соответствия $f$ условно изображается стрелкой).
Значение функции $y = f(x)$, соответствующее определенному значению $x = x_{1}$ из области определения функции, обозначается так:
$y_{1} = f(x_{1})$ или $y_{1} = \left . y \right |_{x=x_{1}}$.
Пример 1. Функция задана равенством $f(x) = \frac{x}{x^{2}+1}$ (и определена при всех значениях $x$).
Найти: а) $f(1)$; б) $f(\sqrt{2}/2)$; в) $f(a)$; г) $f(2/x)$.
Решение. a) $f(1) = \frac{1}{1^{2} + 1} = \frac{1}{2}$; б) $f \left ( \frac{\sqrt{2}}{2} \right ) = \frac{\sqrt{2}}{3}$;
в) $f(a) = \frac{a}{a^{2} + 1}$; г) $f \left ( \right ) = \frac{2/x}{(2/x)^{2} + 1} = \frac{2x}{x^{2} + 4}$.
При одновременном рассмотрении нескольких различных функций используют различные буквы для обозначения каждого из законов соответствия, например:
$y = f(x), y = F (x), y = g(x), y = \phi(x)$.
Две функции считают равными (совпадающими), если их области определения совпадают и значения при любых одинаковых значениях аргумента равны.
Пример 2. Функции $f(x) = 2$ и $ \phi(x) = 1 + \sin^{2} x + \cos^{2} x$ совпадают; нет необходимости обозначать их разными буквами $f$ и $\phi$.
Пример 3. Функция $f(x) = x$ и функция $\phi(x) = (\sqrt{x})^{2}$ различаются: первая определена на всей оси, вторая — только при $x \geq 0$, хотя в этом случае они равны: при $x \geq 0$ имеем $( \sqrt{x})^{2} = x$.