Основные элементарные функции
Элементарные функции
Целые рациональные функции
Дробно-рациональные функции
Трансцендентные функции
В элементарной математике по большей части рассматриваются функции, которые могут быть аналитически заданы с помощью рациональных действий (сложение, вычитание, умножение и деление), выполняемых над числами (константами) и перечисленными ниже так называемыми основными элементарными функциями
, а также с помощью образования сложных функций. Основными элементарными функциями условимся считать следующие:
I) степенные функции $y = x^k$, где $k$ — любое действительное число;
II) показательные функции $у = а^x$, где $а$ — любое положительное число, отличное от единицы: $а > 0, а \neq 1$;
III) логарифмические функции $y = log_a x$, где $а$ — любое положительное число, отличное от единицы: $a > 0, а \neq 1$;
IV) тригонометрические функции
$у = \sin x, у = \cos x, у = tg x, у = ctg x$;
V) обратные тригонометрические функции
$у = \arcsin x, у = arccos x, у = arctg x, у = arcctg x$.
Функции, получающиеся из основных элементарных функций перечисленными выше операциями (из которых особенно важна операция образования сложной функции), будем называть элементарными функциями
. Так, например, элементарными являются функции
$y = \frac {\sqrt x}{2 + \sin x}$,
$y = log_3 (\sqrt [7]{tg x} + 5^x)$,
$y = arctg^2 \left ( \frac{1}{x} + ctg 8x \right )$
и т.п. Выделим некоторые особенно важные виды элементарных функций.
Функции, образуемые применением к аргументу только трех целых рациональных действий, называют целыми рациональными функциями (ц.р.ф.)
. Их также называют многочленами или полиномами от переменной $x$; любая ц.р.ф. записывается в виде
$y = P_n(x) = а_0x^n + a_1x^{n-1} + \cdots + a_n$. (1)
Если $а_0 \neq 0$, то она называется ц.р.ф. или полиномом степени $n$-Линейную ц.р.ф.
$y = ax + b$ (2)
называют просто линейной функцией; квадратичную ц.р.ф.
$у = ах^3 + bх + с$ (3)
- квадратным (или квадратичным) трехчленом.
Дробно-рациональной функцией (д.р.ф.) называют функцию, которая требует для своего образования выполнения рациональных действий (включая деление)
. Таковы, например, функции
$y = \frac {x+1}{x^2-6}$; $y = \frac {x^2 + x + 1}{x^2 - x + 1}$.
Вообще, д. р. ф. представляется как частное отделения двух ц.р.ф.:
$y = \frac {P_n (x)}{Q_m (x)} = \frac {a_0x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_n}{b_0x^m + b_1 x^{m-1} + \cdots + b_m}$ (4).
В простейшем случае, когда числитель и знаменатель - линейны, функция имеет вид
$y = \frac {ax+b}{cx+d}$ (5)
и называется дробно-линейной функцией.
Если, кроме рациональных операций, для образования функции применяется еще извлечение корня целой степени (т. е. возведение в рациональную степень), то такую функцию мы называем алгебраической иррациональной функцией. Примеры алгебраических иррациональных функций:
$у = \sqrt { \frac{x}{x-1}}; y = x + 2 \sqrt [3]{1-x}; y = \sqrt {1 + \sqrt {x}}$.
Все перечисленные до сих пор виды элементарных функций называются алгебраическими функциями.
Показательная функция, логарифмическая функция, степенная функция при иррациональном показателе степени называются трансцендентными функциями
; также трансцендентными считают и тригонометрические функции. Сам термин «трансцендентный» означает «превосходящий» (в смысле превосходящий силу алгебраических методов). Тригонометрические функции изучаются в главах VIII-XII; здесь мы рассмотрим некоторые алгебраические и трансцендентные функции (логарифмическую и показательную).