Начнем с исследования степенной функции $y = x^k$ в случае $k = - 1$:

$y = \frac{1}{x}$ (1)

или с несколько более общей функции:

$y = \frac{m}{x} (m \neq 0)$ (2)

(). Равенство (2) записывают также в симметричной относительно $x$ и $у$ форме:

$xy = m$. (3)

Таким образом, произведение величин, находящихся в обратной пропорциональной зависимости, постоянно и равно коэффициенту пропорциональности.
Проведем исследование функции (2) в случае $m > 0$.

1) Областью определения функции (2) служит вся ось $Ох$, кроме точки $x = 0$: эта область состоит из двух бесконечных открытых интервалов $(-\infty, 0)$ и $(0, + \infty)$.

2) Функция не обращается в нуль. Если $x > 0$, то (в силу $m > 0$) и $у > 0$, для отрицательных $х$ функция также принимает отрицательные значения. Областью изменения функции является множество всех действительных чисел, кроме нуля.

3) Функция (2) нечетна (докажите); ее график симметричен относительно начала координат. Достаточно поэтому рассмотреть лишь ту его часть, которая соответствует интервалу $(0, + \infty)$.

График функции (2) обладает и симметрией относительно биссектрис координатных углов. Покажем, например, его симметрию относительно биссектрисы I-III углов. Запись (3) совершенно симметрична относительно $x$ и $у$; поэтому, если точка $M_1 (x_1, у_1)$ лежит на графике функции, то и симметричная с ней точка $M_2(x_2, у_2)$, имеющая координаты $x_2 = y_l, у_2 = x_1$ лежит на том же графике; из равенства $x_1y_1 = m$ следует

$x_2y_2 = y_1x_1 = m$.

Это соображение применимо всякий раз, когда соотношение между $x$ и $y$ можно представить в форме, симметричной относительно $x$ и $у$, т. е. в виде $F (x, у) = 0$, причем функция $F (x, у)$ удовлетворяет условию $F (у, x) = F (x, у)$.

4) При $x > 0$ функция (2) убывающая; действительно, из $0< x_1 < x_2$ следует $\frac{m}{x_1} > \frac{m}{x_2}$, т. е. $у_1 > у_2$. Функция является убывающей и в интервале $(- \infty, 0)$ (проверьте самостоятельно). Было бы ошибкой тем не менее считать функцию убывающей во всей области определения: в точке $x = 0$ она не определена, имеется два интервала ее монотонности: $(- \infty, 0)$ и $(0, + \infty)$, в каждом из которых она убывает.

5) Изучим характер изменения $у$ при условии, что $x$ принимает все большие положительные значения (стремится к бесконечности). Ясно, что $y = \frac{m}{x}$ при этом будет приближаться к нулю, оставаясь все же положительным. Графически это означает, что кривая приближается (при движении точки вправо) к оси абсцисс, оставаясь выше оси абсцисс. Ось $Ox$ является асимптотой графика обратной пропорциональности.

Если, напротив, заставить $x$ приближаться к нулю, оставаясь положительным, то $у$ будет неограниченно возрастать (стремиться к бесконечности). График имеет и вторую асимптоту - ось $Oy$ (последнее ясно также из наличия асимптоты $Ox$ и симметрии относительно прямой $y = x$). Кривая, соответствующая разобранному случаю $m > 0$, показана на рис а; случай $m < 0$ рассматривается аналогично, график изображен на рис. б.


. В обоих случаях $m > 0$ и $m < 0$ гипербола состоит из двух отдельных частей, называемых ветвями гиперболы. Гипербола имеет оси симметрии (здесь они совпадают с биссектрисами координатных углов), две асимптоты (они совпали с координатными осями),центр симметрии (помещающийся в точке пересечения осей симметрии и асимптот).


На рис. показаны графики функций $у = \frac{1}{x^n}$ при $n = 2, n = 3$; исследование этих функций предоставляется вам.

В качестве примеров степенных функций с дробными показателями степени рассмотрим $у = \sqrt [3]{x}$ и $у = \sqrt {x}$.


Функцию $у = \sqrt [3]{x}$ можно рассматривать как обратную по отношению к $y = x^3$ поэтому можно построить ее график как кривую, симметричную с кубической параболой $у = x^3$ относительно биссектрисы I-III координатных углов (рис.). Ясно,что и не зная правила, относящегося к графикам взаимно обратных функций, мы могли бы переписать уравнение $у = \sqrt [3]{x}$ в равносильном виде $x = y^3$ и строить график функции $x = у^3$ как кубической функции от $у$.


В случае функции $у = \sqrt {x}$ область определения - полуось $x \geq 0$. И здесь можно применить правило, относящееся к графикам взаимно обратных рассмотрим функцию $у = x^2$ во всей ее области определения $(- \infty, + \infty)$, то она не будет монотонной и не будет иметь обратной функции. Возьмем, однако, функцию $y = x^2$, ограничив область изменения $x$ положительной полуосью (рис.). Теперь функция $у = x^2$, монотонна (на всей полуоси $x \geq 0$) и имеет обратную функцию $у = \sqrt {x}$, график которой показан на том же рис.



Проведем краткое исследование функции.

1) Область определения - вся числовая ось.
2) Функция неотрицательна и обращается в нуль только при $x = 0$; график функции проходит через начало координат и лежит выше оси абсцисс.
3) Функция четная, ее график симметричен относительно оси $Oy$.
4) Функция монотонно возрастает при положительных $x$ (и монотонно убывает при отрицательных $x$, что видно, например, из симметрии графика относительно $Oy$).


5) При неограниченно растущем $x$ функция также растет (стремится к бесконечности), но медленнее, чем $x$ равенство $y = \sqrt [3]{x^2}$ влечет за собой $\frac{y}{x} = \frac{1}{ \sqrt [3]{x}}$, т. е. при $x \rightarrow + \infty$ отношение $\frac{у}{x}$ уменьшается, приближаясь к нулю. Это означает, что хорда, соединяющая точку $(0, 0)$ с любой точкой $(x, \sqrt [3]{x})$, наклонена к оси $Ox$ по мере удаления точки в бесконечность под все более острым углом (рис.), график поднимается полого.

Исследуем еще вид кривой вблизи начала координат. Здесь при малых значениях $x$ отношение $\frac{y}{x} = \frac{1}{ \sqrt [3]{x}}$, показывающее наклон хорды, весьма велико, кривая входит в начало координат, тесно приближаясь к оси $Oy$ (касаясь оси $Oy$). График на рис. построен с учетом этого исследования и с использованием отдельных точек $(0, 0), (\frac{1}{8}, \frac{1}{4}), (1, 1), (8, 4)$.

Аналогичными приемами могут быть исследованы функции $у = x^k$ с любыми рациональными показателями степени.