Неравенства высших степеней. Неравенства, содержащие дробные рациональные функции от x.
Рассмотрим теперь неравенства вида
$P_{n} (x) = a_0x^{n} + a_{1}x^{n-1} + \cdots + a_{n} > 0$ (1)
или вида
$R (x0 (x) = \frac {P_{n} (x)}{Q_m (x)} = \frac {a_0x^{n} + a_{1}x^{n-1} + \cdots + a_{n} > 0}{b_0x^v + b_{1}x^{v-1} + \cdots + b_v > 0}$ (2)
(в левой части этих неравенств помещается, соответственно, целая или дробная рациональная функция от $x$). Такие неравенства решают путем разложения входящих в них многочленов на множители, после чего оказывается достаточным установить знак левой части неравенства в каждом из интервалов, на которые числовая ось разбивается действительными корнями функции $P_{n}(x)$ (корнями числителя и знаменателя дробной функции $R(x) = P_{n}(x)Q_m (x))$.
Пример 1. Решить неравенства: а) $x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6 > 0$; б) $x^{4} + 9x^{2} - 10 < 0$; в) $x^{6} + 25x^{4} > 0$.
Решение. а) Для разложения кубического многочлена на множители найдем его корни. Легко заметить, что делитель 1 свободного члена является одним из корней многочлена; другие корни равны 2 и 3, так что неравенство запишется в виде
$(x - 1)(x - 2)(x - 3) > 0$.
Теперь видно, что для $x < 1$ все три множителя отрицательны, произведение отрицательно. При $1 < x < 2$ первый множитель положителен, два других отрицательны. Продолжая такие же рассуждения, найдем, что многочлен положителен в интервалах $(1, 2), (3, \infty )$ и отрицателен в интервалах $(- \infty, 1),(2, 3)$. Множество решений неравенства состоит из интервалов $(1, 2),(3, \infty )$.
б) Для разложения левой части неравенства на множители находим ее корни; имеем биквадратное уравнение
$x^{4} + 9x^{2} - 10 = 0$.
Находим $x^{2} = 1$ и $x^{2} = - 10$. Запишем разложение левой части неравенства на множители:
$(x^{2} - 1)(x^{2} + 10 ) \leq 0$.
или
$(x - 1)(x + 1)(x^{2} + 10 ) \leq 0$,
Так как $x^{2} + 10 > 0$ при любых $x$, то неравенство заменяется равносильным:
$(x - 1)(x + 1) \leq 0$.
Множеством его решений служит сегмент $[—1, 1]$.
в) Неравенство удовлетворяется при всех значениях $x \neq 0$; множество его решений состоит из интервалов $(- \infty , 0)$ и $(0, \infty )$. Сходным образом решаются и дробные неравенства.
Пример 2. Решить неравенство $\frac{2x + 3}{x - 4} > 3$.
Решение. Начнем с предостережения: не следует делать «очевидного» упрощения, состоящего в том, чтобы умножить неравенство на знаменатель $x - 4$ дроби; знаменатель может быть как положительным, так и отрицательным, и в зависимости от его знака при умножении придется рассматривать два случая.
Вместо этого перенесем все члены неравенства в одну часть. Получаем
$\frac{2x + 3}{x - 4} - 3 > 0$, или $\frac{-x + 15}{x - 4} > 0$.
Удобно изменить знак в числителе, одновременно изменив и знак неравенства:
$\frac{x - 15}{x - 4} < 0$.
В интервале $x < 4$ левая часть положительна, в интервале $4 < x < 15$- отрицательна, в интервале $x > 15$ - вновь положительна. Область решений - интервал (4, 15).
Пример 3. Найти все значения $x$, для которых
$\left | \frac{x^{2} + x - 2 }{x + 3} \right | = \frac{x^{2} + x - 2 }{x + 3}$. (3)
Решение. Из определения модуля следует, что равенство (3) равносильно неравенству
$\frac{x^{2} + x - 2}{x + 3} \geq 0$.
Запишем его в виде
$\frac{(x+2)(x-1)}{x + 3} \geq 0$.
Неотрицательные значения левая часть неравенства принимает в интервалах $(-3, -2]$ и $[1, + \infty )$. Точки $x = - 2$ и $x = 1$ входят в области решений. В них левая часть неравенства обращается в нуль, а это допускается знаком нестрогого неравенства.
Пример 4. При каких значениях а корни квадратного уравнения
$x^{2} - \frac{8a}{a + 1}x + a^{2} = 0$ (4)
действительные положительные?
Решение. Корни трехчлена будут действительными при условии, что его дискриминант неотрицателен:
$\frac{16a^{2}}{(a + 1)^{2}} - a^{2} \geq 0$.
Так как произведение корней по теореме Виета равно $a^{2}$, то при положительных корнях должно быть $a \neq 0$. В то же время из равенства $x_{1} + x_{2} = \frac{8a}{a + 1}$ ясно, что корни будут положительными при выполнении условия
$\frac{a}{a + 1} > 0$
(так как $x_{1}x_{2} = a^{2} > 0$, то знаки корней одинаковы и совпадают со знаком $\frac{a}{a + 1}$).
Итак, решение примера 4 свелось к решению системы неравенств
$\begin{cases} \frac{16a^{3}}{(a + 1)^{2} }- a^{2} \geq 0, \\ \frac{a}{a + 1} > 0. \end{cases}$
Второе неравенство имеет множество решений, состоящее из интервалов $(- \infty, - 1)$ и $(0, \infty)$. Первое неравенство перепишем в виде
$\frac{a^{2}}{(a + 1)^{2} } [16 - (a + 1)^{2} ] \geq 0$,
и так как у нас $a^{2} > 0, (a + 1)^{2} > 0$ (точки $a = 0$ и $a = - 1$ не входят уже во множество решений второго неравенства системы), то останется решить неравенство
$16 - (a + 1)^{2} \geq 0$.
Множеством его решений служит замкнутый интервал $[-5, 3]$.
Точки, одновременно удовлетворяющие обоим неравенствам системы, заполняют интервалы $[-5, -1)$ и $(0, 3]$. Корни данного уравнения (4) действительны и положительны, если
$- 5 \leq a < - 1$ или $0 < a \leq 3$.