Разделы 
Дополнительно
Натуральные числа
Натуральные числа
арифметическими (рациональные) действия
Переместительный (коммутативный) закон сложения
Переместительный (коммутативный) закон умножения
Сочетательный (ассоциативный) закон сложения
Сочетательный (ассоциативный) закон умножения
Распределительный (дистрибутивный) закон умножения
Натуральные числа выражают количество подлежащих счету однотипных или неоднотипных предметов; таковы, например, числа один, два, десять, двадцать, сто, двести пятьдесят шесть, тысяча и т. д.
Понятие натурального числа относится к простейшим, первоначальным понятиям математики и не подлежит определению через другие, более простые понятия.
Натуральные числа могут быть естественным образом расположены по их возрастанию: каждое следующее натуральное число получается из предыдущего прибавлением единицы. Записанные в порядке возрастания:
$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, \cdots ,$
натуральные числа образуют натуральный ряд. Многоточие показывает возможность неограниченного продолжения этого ряда. В этом смысле говорят, что имеется бесконечное множество натуральных чисел. Единица – наименьшее натуральное число; наибольшего числа натуральный ряд не имеет.
Напомним принцип записи натуральных чисел в десятичной системе счисления при помощи десяти цифр
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Цифры, участвующие в записи числа, при чтении их справа налево указывают последовательно, сколько в данном числе содержится единиц, затем десятков, сотен, тысяч и т. д. Вообще, цифра стоящая на k-м месте, считая справа, покажет, сколько данное число содержит единиц разряда $10^{k-1}$.
Так, например,
$18=1 \cdot 10 + 8$,
$347 = 3 \cdot 10^{2} + 4 \cdot 10 + 7$,
$5096 = 5 \cdot 10^{3} + 0 \cdot 10^{2}+ 9 \cdot 10 + 6$
и, в общей форме, для m - значного числа $a_{m}$:
$a_{m}=c_{1} \cdot 10^{m-1} + c_{2} \cdot 10^{m-2} + \cdots + c_{m-1} \cdot 10 + c_{m}$, (1)
где $c_{1},c_{2}, \cdots, c_{m}$ - цифры, при помощи которых число
$a_{m}$ записывается в виде $\overline{c_{1}c_{2} \cdots , c_{m}}$ (здесь черта сверху ставится, чтобы не смешивать число $a_{m}$ с произведением чисел $c_{1},c_{2}, \cdots , c_{m}$).
В арифметике и алгебре рассматривают различные действия над числами: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня и т, д. Первые четыре из этих действий называют арифметическими или рациональными
. Но только два из них - сложение и умножение - безусловно выполнимы в области натуральных чисел: сумма и произведение натуральных чисел суть снова натуральные числа.Сформулируем законы, которым подчиняются действия сложения и умножения; строгие определения этих действий и обоснование их свойств (выводимых из небольшого числа аксиом) рассматриваются в теоретической арифметике и здесь опускаются.
Переместительный (или коммутативный) закон сложения:
$a + b = b + a$ (2)
- от перестановки слагаемых сумма не изменяется.
$a + b = b + a$ (2)
- от перестановки слагаемых сумма не изменяется.
Переместительный (или коммутативный) закон умножения:
$a \cdot b = b \cdot a$ (3)
- от перестановки сомножителей произведение не изменяется.
$a \cdot b = b \cdot a$ (3)
- от перестановки сомножителей произведение не изменяется.
В дальнейшем, по большей части, в записи произведения $a \cdot b$ точку опускаем и пишем просто $ab$.
Сочетательный (или ассоциативный) закон сложения:
$(a + b) + c = a + (b + c)$ (4)
- сумма не зависит от группировки слагаемых.
$(a + b) + c = a + (b + c)$ (4)
- сумма не зависит от группировки слагаемых.
Этот закон позволяет записывать сумму нескольких слагаемых без скобок. Например:
$(a+b) + c = a + (b + c) = a + b + c$.
Сочетательный (или ассоциативный) закон умножения:
$(ab)c=a(bc)$ (5)
$(ab)c=a(bc)$ (5)
- произведение не зависит от группировки сомножителей.
Этот закон позволяет писать произведение нескольких сомножителей без скобок. Например:
$(ab)c=a(bc)=abc$.
Распределительный (или дистрибутивный) закон умножения относительно сложения:
$(a+b)c=ac+bc$. (6)
Этот закон лежит в основе правила раскрытия скобок, которым часто пользуются в вычислениях и преобразованиях.
$(a+b)c=ac+bc$. (6)
