Мы сделали попытку свести неравномерное движение к равномерному и для этого ввели среднюю скорость движения. Но это нам не помогло: зная среднюю скорость, нельзя решать самую главную задачу механики - определять положение тела в любой момент времени. Можно ли каким-нибудь другим способом свести неравномерное движение к равномерному?
Этого, оказывается, сделать нельзя, потому что механическое движение - это процесс непрерывный. Непрерывность движения состоит в том, что если, например, тело (или точка), двигаясь прямолинейно с возрастающей скоростью, перешло из точки $A$ в точку $B$, то оно непременно должно побывать во всех промежуточных точках, лежащих между $A$ и $B$, без всяких пропусков. Но это еще не все. Предположим, что, подходя к точке $A$, тело двигалось равномерно со скоростью 5 м/сек, а после прохождения точки $B$ оно двигалось тоже равномерно, но со скоростью 30 м/сек. При этом на прохождение участка $AB$ тело потратило 15 сек. Следовательно, на отрезке $AB$ скорость тела за 15 сек изменилась на 25 м/сек. Но так же как тело при своем движении не могло миновать ни одну из точек на его пути, его скорость должна была принять все значения скорости между 5 и 30 м/сек. Тоже без всяких пропусков! В этом и состоит непрерывность механического движения: ни координаты тела, ни его скорость не могут изменяться скачками. Отсюда можно сделать очень важный вывод. Различных значений скорости в интервале от 5 до 30 м/сек имеется бесчисленное множество (в математике говорят, бесконечно много значений). Но между точками $A$ и $B$ имеется и бесчисленное множество (бесконечно много!) точек, а 15-секундный интервал времени, в течение которого тело переместилось из точки $A$ в точку $B$, состоит из бесчисленного множества промежутков времени (время тоже течет без скачков!).
Следовательно, в каждой точке траектории движения и в каждый момент времени тело обладало определенной скоростью.
Скорость, которую имеет тело в данный момент времени и в данной точке траектории, называют мгновенной скоростью.
При равномерном прямолинейном движении скорость тела определяется отношением его перемещения к промежутку времени, за который совершено это перемещение. Что же означает скорость в данной точке или в данный момент времени?
Допустим, что некоторое тело (как всегда, мы в действительности имеем в виду какую-то определенную точку этого тела) движется прямолинейно, но не равномерно. Как вычислить его мгновенную скорость в некоторой точке $A$ его траектории? Выделим небольшом участок $l$ на этой траектории, включающий точку $A$ (рис. 1). Малое перемещение тела на этом участке обозначим через $\Delta \vec{s}_{1}$, а малый промежуток времени, в течение которого оно совершено, через $\Delta t_{1}$. Разделив $\Delta s_{1}$ на $\Delta t_{1}$, мы получим среднюю скорость на этом участке: ведь скорость изменяется непрерывно и в разных местах участка 1 она различна.
Уменьшим теперь длину участка 1. Выберем участок 2 (см. рис. 1), тоже включающий в себя точку $A$. На этом меньшем участке перемещение равно $\Delta s_{2}$ ($\Delta \vec{s}_{2} < \Delta \vec{s}_{1}$) и проходит его тело за промежуток времени $\Delta t_{2}$. Ясно, что на участке 2 скорость тела успевает измениться на меньшую величину. Но отношение $\frac{ \Delta \vec{s}_{2} }{ \Delta t_{2} }$ дает нам и для этого меньшего участка все же среднюю скорость. Еще меньше изменение скорости на протяжении участка 3 (также включающего в себя точку $A$), меньшего, чем участки 1 и 2, хотя, разделив перемещение $\Delta \vec{s}_{3}$ на промежуток времени $\Delta t_{3}$, мы опять получим среднюю скорость на этом малом участке траектории. Будем постепенно уменьшать длину участка, а вместе с ним и промежуток времени, за который тело проходит этот участок. В конце концов мы стянем участок траектории, прилегающей к точке $A$, в самую точку $A$, а промежуток времени - в момент времени. Тогда-то средняя скорость и станег мгновенной скоростью, потому что на достаточно малом участке изменение скорости будет настолько мало, что его можно не учитывать, значит, можно считать, что скорость не изменяется.
Мгновенная скорость, или скорость в данной точке, равна отношению достаточно малого перемещения на малом участке траектории, прилегающей к этой точке, к малому промежутку времени, в течение которого совершается это перемещение.
Понятно, что скорость равномерного прямолинейного движения - это одновременно его мгновенная и средняя скорость.
Мгновенная скорость - величина векторная. Ее направленна совпадает с направлением перемещения (движения) в данной точка.
Прием, к которому мы прибегли, чтобы пояснить смысл мгновенной скорости, состоит, таким образом, в следующем. Участок траектории и время, в течение которого он проходится, мы мысленно постепенно уменьшаем до тех пор, пока участок уже нельзя отличить от точки, промежуток времени - от момента времени, а неравномерное движение - от равномерного. Таким приемом всегда пользуются, когда изучают явления, в которых играют роль какие-нибудь непрерывно изменяющиеся величины.
Нам остается теперь выяснить, что необходимо знать для нахождения мгновенной скорости тела в любой точке траектории и в любой момент времени.