Здесь мы установим некоторые свойства, относящиеся к логарифмам по различным основаниям. Для удобства продолжим нумерацию свойств предыдущего пункта
Определение и свойства логарифмов.
Свойство 8. При вождении основания в некоторую (ненулевую) степень логарифм делится на этот показатель степени:
$log_{a^{n}} N = \frac{1}{n} log_{a} N$. (1)
Доказательство. Пользуясь основным тождеством, находим последовательно
$N = (a^{n})^{log_{a^{n}}N} = a^{n log_{a^{n}} N}$ и $N = a^{log_{a}N}$,
откуда
$a^{n log_{a^{n}}N} = a^{log_{a} N}$ и $n log_{a^{n}} N = log_{a} N$
т. е. $log_{a^{n}} N = \frac{1}{N} log_{a} N$, что и требовалось получить.
Следствие. При возведении основания и числа в одну и ту же (ненулевую) степень логарифм не изменяется.
Доказательство. Последовательно применяя свойства 8 и 6, находим
$log_{a^{n}}N^{n} = \frac{1}{n} log_{a} N^{n} = \frac{1}{n} n log_{a} N = log_{a} N$.
Пример 1. Выразить через логарифм по основанию 3:
$log_{ \frac{1}{3}} 7 + 2 log_{9} 49 – log_{\sqrt{3}} \frac{1}{7} $.
Решение. Имеем
$log_{\frac{1}{3}} 7 + 2log_{9} 49 – log_{ \sqrt{3}} \frac{1}{7} = log_{3^{-1}} 7 + 2 log_{3} 7 + log_{3^{ \frac{1}{3}}} 7 = - log_{3} 7 + 2 log_{3} 7 + 2log_{3} 7 = 3log_{3} 7 = log_{3} 343 $.
Пример 2. Вычислить $25^{ \frac{1}{2} + log_{ \frac{1}{5}} 27 + log_{125} 81}$
Решение. Перепишем данное выражение, сведя основания логарифмов к 5:
$25^{ \frac{1}{2} – log_{5} 3^{3} + \frac{1}{3} log_{5} 3^{4}} = 25^{ \frac{1}{2} + log_{5} 3^{ - \frac{5}{3}}} = 5^{1 + log_{5} 3^{- \frac{10}{3}}} = 5 \cdot 3^{- \frac{10}{3}} = \frac{5}{27 \sqrt[3]{3}} = \frac{5 \sqt[3]{9}}{81}$.
Свойство 9. Если $a, N$ положительны и оба не равны единице, то
$log_{a} N log_{N} a = 1$. (2)
Доказательство. Напишем основное тождество
$a^{log_{a}N} = N$
и прологарифмируем обе его части по основанию $N$ (это возможно, так как $N \neq 1, N > 0$), применив свойства 4 и 1:
$log_{a} N \cdot log_{N} a = log_{N} N = 1$.
Свойство 9 доказано.
Следующее важнейшее свойство дает общее правило перехода от логарифмов с основанием $a$ к логарифмам с другим основанием $b$:
Свойство 10. Имеет место следующее равенство:
$log_{b} N = \frac{log_{a}N}{log_{a}b}$, (3)
которое также в силу свойства 9 пишут в виде
$log_{b} N = log_{a} N \cdot log_{b} a$. (4)
Коэффициент $\frac{1}{log_{a}b}$ в формуле (3) называют модулем перехода от логарифмов по основанию $a$ к логарифмам по основанию $b$.
Доказательство. Напишем снова основное тождество
$b^{log_{b} N} = N$
и прологарифмируем обе его части по основанию $a$:
$log_{b} N \cdot log_{a} b = log_{a} N$.
Отсюда прямо вытекает требуемое равенство (3).
Пример 3. Упростить выражение $log_{b} a \cdot log_{c} b \cdot log_{a} c$.
Решение. В силу (4) и (2) имеем
$log_{b} a \cdot log_{c} b log_{a} c = log_{c} a \cdot log_{a} c = 1$.