Разделы 
Дополнительно
Логарифмические уравнения.
Логарифмические уравнения
Логарифмическими называются уравнения, содержащие неизвестную под знаком логарифма или в основании логарифма (или и то и другое одновременно)
. Например, логарифмическими будут уравнения
$log_{2} x + log_4 (х + 2) = 2$,
$log_x 2 + log_x 8 = 3$,
$log_x (х + 6) = 2$.
Следует заметить, что при решении логарифмических уравнений необходимо учитывать о. д. з.: под знаком логарифма могут находиться только положительные величины, в основании логарифмов - только положительные величины, отличные от единицы.
Простейшим логарифмическим уравнением назовем уравнение вида
$log_a x = b$. (1)
Оно решается потенцированием:
$x = a^b$.
Решение других логарифмических уравнений иногда удается свести к решению уравнений простейшего вида (1).
При решении логарифмических уравнений используются свойства логарифмов и действие потенцирования.
Пример 1. Решить уравнение: а) $log_{2} \left ( 1 + \frac{1}{x} \right ) = 3$; б) $log_{(x^{2} - 1 )} 27 = 3$; в) $log_{x} (x + 6) = 2$.
Решение: a) По определению логарифма имеем $1 + \frac{1}{x} = 2^{3}$. Отсюда
$1 + \frac{1}{x} = 8, \frac{1}{x} = 7, x = \frac{1}{7}$.
б) $(x^{2} - 1 )^{3} = 27$. Отсюда $x^{2} - 1 = \sqrt[3]{27}$. Берем только действительное значение $\sqrt[3]{27}$, равное 3. Таким образом,
$x^{2} - 1 = 3, x^{2} = 4, x_{1} = 2, x_{2} = - 2$.
в) $x^{2} = x + 6$. Отсюда $x^{2} - x - 6 = 0$; из двух корней $x_{1} = 3$ и $x_{2} = - 2$ полученного квадратного уравнения берем только положительный. Итак, единственный корень данного уравнения $x = 3$.
Обратим внимание, что, решая уравнения из примера 1, мы не стали заранее определять о. д. з. Вместо этого мы всякий раз проверяем, удовлетворяют ли найденные значения х уравнению (это иногда занимает меньше времени, чем отыскание о. д. з.).
Решение: a) По определению логарифма имеем $1 + \frac{1}{x} = 2^{3}$. Отсюда
$1 + \frac{1}{x} = 8, \frac{1}{x} = 7, x = \frac{1}{7}$.
б) $(x^{2} - 1 )^{3} = 27$. Отсюда $x^{2} - 1 = \sqrt[3]{27}$. Берем только действительное значение $\sqrt[3]{27}$, равное 3. Таким образом,
$x^{2} - 1 = 3, x^{2} = 4, x_{1} = 2, x_{2} = - 2$.
в) $x^{2} = x + 6$. Отсюда $x^{2} - x - 6 = 0$; из двух корней $x_{1} = 3$ и $x_{2} = - 2$ полученного квадратного уравнения берем только положительный. Итак, единственный корень данного уравнения $x = 3$.
Обратим внимание, что, решая уравнения из примера 1, мы не стали заранее определять о. д. з. Вместо этого мы всякий раз проверяем, удовлетворяют ли найденные значения х уравнению (это иногда занимает меньше времени, чем отыскание о. д. з.).
В следующем примере мы встречаемся с логарифмами по различным основаниям.
Пример 2. Решить уравнения; а) $log_{2}x + log_{4} (x + 2) = 2$; б) $log_{2} x + log_{3} x = 1$.
Решение. а) Имеем
$log_{2} x= log_{2^{2} } x^{2} = log_{4} x^{2}$.
Это дает возможность записать данное уравнение в виде
$log_{4} x^{2} + log_{4} (x + 2) = 2$.
Здесь логарифмы берутся уже по одному и тому же основанию 4 (это же можно было получить и с помощью модуля перехода). Заменяя сумму логарифмов, расположенную в левой части последнего уравнения, логарифмом произведения, получим $log_{4} [x^{2} (x + 2)] = 2$.
Отсюда находим
$x^{2} (x + 2) = 4^{2}, x^{3} + 2x^{2} - 16 = 0$.
Для определения $x$ имеем уравнение третьей степени. Испытав делители свободного члена (-16), находим, что одним из корней этого кубического уравнения служит $x_{1} = 2$. Делением его левой части на двучлен $x - 2$ получаем квадратное уравнение $x^{2}+4x + 8 = 0$ с корнями $x_{2,3} = - 2 \pm 2i$, которые для исходного логарифмического уравнения не имеют смысла и по этой причине должны быть отброшены.
Итак, корнем данного уравнения служит число $x = 2$.
б) И здесь логарифмы берутся по разным основаниям. В качестве их общего основания выберем, например, число 2. Используя модуль перехода, перепишем данное уравнение так:
$log_{2}x + \frac{log_{2}x }{log_{2} 3 } = 1$.
Преобразуя это уравнение, найдем
$log_{2} ( x^{log_{2}3} \cdot x)= log_{2} 3$.
Имеем, потенцируя,
$x^{log_{2} 3} \cdot x = 3, x^{log_{2} 3 + 1 } = 3$.
В таком случае $x = 3^{ \frac{1}{log_{2}3 + 1 }}$. Более просто этот ответ можно писать, заметив, что
$log_{2} 3 + 1 = log_{2} 3 + log_{2} 2 = log_{2} 6$.
Отсюда
$x = 3^{ \frac{1}{log_{2}6 } } = 3^{log_{4}3 }$.
Если требуется записать приближенное значение этого корня в форме десятичной дроби, то это можно сделать с помощью таблиц, логарифмов так: сначала найти
$lg x = log_{6}2 \cdot lg 3 = \frac{lg2}{lg6} lg3 \approx \frac{0,3010 \cdot 0,4771}{0,7781} \approx 0,1846$,
а потом по $lg x$ найти $x \approx 1,53$.
Решение. а) Имеем
$log_{2} x= log_{2^{2} } x^{2} = log_{4} x^{2}$.
Это дает возможность записать данное уравнение в виде
$log_{4} x^{2} + log_{4} (x + 2) = 2$.
Здесь логарифмы берутся уже по одному и тому же основанию 4 (это же можно было получить и с помощью модуля перехода). Заменяя сумму логарифмов, расположенную в левой части последнего уравнения, логарифмом произведения, получим $log_{4} [x^{2} (x + 2)] = 2$.
Отсюда находим
$x^{2} (x + 2) = 4^{2}, x^{3} + 2x^{2} - 16 = 0$.
Для определения $x$ имеем уравнение третьей степени. Испытав делители свободного члена (-16), находим, что одним из корней этого кубического уравнения служит $x_{1} = 2$. Делением его левой части на двучлен $x - 2$ получаем квадратное уравнение $x^{2}+4x + 8 = 0$ с корнями $x_{2,3} = - 2 \pm 2i$, которые для исходного логарифмического уравнения не имеют смысла и по этой причине должны быть отброшены.
Итак, корнем данного уравнения служит число $x = 2$.
б) И здесь логарифмы берутся по разным основаниям. В качестве их общего основания выберем, например, число 2. Используя модуль перехода, перепишем данное уравнение так:
$log_{2}x + \frac{log_{2}x }{log_{2} 3 } = 1$.
Преобразуя это уравнение, найдем
$log_{2} ( x^{log_{2}3} \cdot x)= log_{2} 3$.
Имеем, потенцируя,
$x^{log_{2} 3} \cdot x = 3, x^{log_{2} 3 + 1 } = 3$.
В таком случае $x = 3^{ \frac{1}{log_{2}3 + 1 }}$. Более просто этот ответ можно писать, заметив, что
$log_{2} 3 + 1 = log_{2} 3 + log_{2} 2 = log_{2} 6$.
Отсюда
$x = 3^{ \frac{1}{log_{2}6 } } = 3^{log_{4}3 }$.
Если требуется записать приближенное значение этого корня в форме десятичной дроби, то это можно сделать с помощью таблиц, логарифмов так: сначала найти
$lg x = log_{6}2 \cdot lg 3 = \frac{lg2}{lg6} lg3 \approx \frac{0,3010 \cdot 0,4771}{0,7781} \approx 0,1846$,
а потом по $lg x$ найти $x \approx 1,53$.
