Неравенства вида
$ax + b > 0 \: (a \neq 0)$ (1)
(а также $ax + b < 0$, ax + b \geq 0, ax + b \leq 0$) называются линейными неравенствами или неравенствами первой степени.
Для решения неравенства (1) перенесем свободный член в правую часть неравенства с противоположным знаком:
$ax > -b$. (2)
Приходится различать два случая: $a > 0$ и $a < 0$. Если $a > 0$, то разделим обе части неравенства (2) на $a$ и получим равносильное неравенство $x > - b/a$, которое показывает, что множество решений неравенства (1) в данном случае - бесконечный интервал $\left (- \frac{b}{a}, \infty \right )$. Если $a < 0$, то при делении обеих частей неравенства (2) на $a$ придется изменить смысл неравенства, $x < - \frac{b}{a}$, и решением неравенства (1) в этом случае будет бесконечный интервал $\left ( - \infty, - \frac{b}{a} \right )$.
Замечание. Если бы $a = 0$, то неравенство (1) не содержало бы $x$ и было бы либо верным, либо неверным числовым неравенством.
Пример 1. Решить неравенства: а) $3x+4 > x+10$; б) $6x+1 \geq 10x + 3$.
Решение, а) Перенесем члены, содержащие $x$, в левую часть неравенства, а свободные члены - в правую часть:
$2x > 6, x > 3$.
Решением неравенства является интервал ($3, \infty$).
б) Перенесем неизвестные члены в левую часть, а известные — в правую часть неравенства:
$6x - 10x \geq 3 - 1, -4x \geq 2$.
При делении неравенства на отрицательное число (-4) изменим смысл неравенства на противоположный, получим $x \leq - \frac{1}{2}$.
Множеством решений данного неравенства служит бесконечный интервал $\left ( \right . - \infty, - \frac{1}{2} \left. \right ]$.
Пример 2. Решить (и исследовать) неравенство
$(a - 1)x > a^{2} - 1$.
Решение. Различаем случаи:
1) $a > 1$; 2) $a < 1$; 3) $a = 1$.
При $a > 1$ делим обе части на $a - 1$ и сохраняем смысл неравенства: $x > a + 1$. При $a < 1$ одновременно с делением на $a - 1$ изменяем смысл неравенства: $x < a+1$. При $a = 1$ неравенство не выполняется ни при каком $x$.
Ответ. Если $a > 1$, то множеством решений служит интервал $(a + 1, \infty)$; если $a < 1$, то множество решений - интервал $(- \infty, a+1)$; при $a=1$ решений не имеется.
В случае, если задана система линейных неравенств с одной неизвестной $x$, например система двух неравенств вида
$\begin{cases} ax + b \geq 0, \\ cx + d \leq 0, \end{cases}$
то ее решение проводится так: решают каждое неравенство в отдельности, а затем находят те значения $x$, которые входят во множества решений каждого из неравенств. В случае двух неравенств решением каждого из них служит бесконечный интервал вида $[ \alpha , \infty )$ или $(- \infty , \alpha ]$. Можно представить себе четыре основные возможности, поясняемые рис., где I я II обозначают области решений первого и второго неравенств.
1) Решениями обоих неравенств служат бесконечные интервалы вида $[ \alpha , \infty ), [ \beta, \infty )$ соответственно, т. е. лучи положительного направления с начальными точками $\alpha, \beta$. Если, например, $\alpha \leq \beta$, то решением системы неравенств будет общая часть этих лучей - луч $[ \beta , \infty )$. Этот случай показан на рис. а.
2) Решения неравенств — бесконечные интервалы (лучи) вида $(- \infty, \alpha ], (- \infty , \beta ]$. Решением системы служит тот из этих интервалов, который содержится в другом; при $\alpha \leq \beta$ таким является интервал $(- \infty , \alpha ]$ (рис. б).
3) Решение одного из неравенств - луч $[ \alpha , \infty )$, другого - луч $(- \infty, \beta ]$, причем $\alpha \leq \beta$ (рис. в). Общей частью бесконечных интервалов, представляющих решения неравенств системы при $\alpha < \beta$, является сегмент $[ \alpha , \beta ]$, который и служит множеством решений системы. При $\alpha = \beta$ множество решений сведется к одной точке $\beta$.
4) Решения неравенств - лучи $[ \alpha , \infty )$ и $(- \infty , \beta ]$, причем $\beta < \alpha$ (рис. г). В этом случае ни одна точка числовой оси не удовлетворяет обоим неравенствам одновременно. Система неравенств не имеет решений (множество ее решений пусто).
Пример 3. Решить системы неравенств: а) $\begin{cases} 2x + 1 \geq x - 1, \\ 3x + 1 \geq 5x - 7; \end{cases}$ б) $\begin{cases} 1 - 2x \leq x + 10, \\ 6x + 1 > x + 11; \end{cases}$
в) $\begin{cases} 10x - 2 < 4x + 10, \\ 2x + 4 \leq 3x + 1; \end{cases}$ г) $\begin{cases} 3x - 4 < x, \\ x + 5 > 2x + 4. \end{cases}$
Решение. а) Решим последовательно первое и второе неравенства системы:
$2x - x \geq - 1 - 1, x \geq - 2$;
$3x - 5x \geq -7-1, -2x \geq -8, x \leq 4$.
Обоим неравенствам одновременно удовлетворяют все числа, большие пли равные (-2), но меньшие или равные 4. Записать решение данной системы поэтому можно так: $-2 \leq x \leq 4$. Ее множество решений—сегмент $[-2, 4]$.
При отыскании множества решений системы полезно пользоваться наглядным приемом, который в данном случае проводится так: интервал, содержащий решения одного неравенства, покрывается штриховкой в одном направлении (на рис. а в направлении слева вниз направо), а интервал, содержащий решения другого неравенства, - в другом направлении (на рис. 65, а слева вверх направо). Множеством решений системы будет служить дважды заштрихованный интервал числовой оси.
б) Множеством решений первого неравенства служит интервал $[-3, + \infty)$, а второго - интервал $(2, + \infty )$. Следовательно, множества решений системы - бесконечный интервал $(2, + \infty )$; на рис. 65, б это отчетливо видно.
в) Первому неравенству удовлетворяют все числа, меньшие 2, а второму - все числа, большие или равные 3. Множества решений неравенств, составляющих систему, общих точек не имеют (рис. в). Неравенства несовместны, система противоречива.
г) Множеством решений первого неравенства служит интервал $(- \infty, 2)$, а второго - интервал $(- \infty , 1)$. Поэтому множеством решений системы является бесконечный интервал $(- \infty, 1)$; это видно из рис. г.
К системам неравенств приводят неравенства, содержащие неизвестную под знаком абсолютной величины. Ограничимся решением типичного примера.
Пример 4. Решить неравенство
$x + 2|x - 2 | < 5$. (3)
Решение. Для того чтобы записать неравенство без знака модуля, придется рассмотреть две возможности: 1) $x \geq 2$ и 2) $x < 2$.
1) $x \geq 2$; тогда неравенство (3) принимает вид $3x - 4 < 5$ и мы приходим к системе неравенств
$\begin{cases} x \geq 2, \\ 3x - 4 < 5. \end{cases}$ (4)
2) $x < 2$; в этом случае неравенство (3) сводится к виду $- x + 4 < 5$ и получается система
$\begin{cases} x < 2, \\ - x + 4 < 5. \end{cases}$ (5)
Множество решений неравенства (3) будет объединением множеств решений систем (4) и (5). Первая система имеет своим решением интервал [2, 3), вторая — интервал (-1, 2). Итак, решение неравенства (3) - интервал (-1, 3).