При $b = 0$ она принимает вид

$y = ax$. (2)

В этом случае говорят, что $у$ прямо пропорционально $x$ (с коэффициентом пропорциональности а); равенство (2) задает прямую пропорциональную зависимость между $x$ и $y$.

Отметим простейшие свойства функции $y = ax$: 1) функция определена при всех значениях $x$; 2) график функции проходит через начало координат (при $x = 0$ имеем $y = 0$); 3) функция нечетная, график ее симметричен относительно начала координат, так как $a \cdot (-x) = - (ax)$.

Чтобы построить график функции $y = ax$, проведем через начало координат прямую линию под углом $\phi$ к оси $Ox$ (угол отсчитывается от оси $Ox$ против часовой стрелки) таким,что $tg \phi = a$.

Докажем, что эта прямая и является графиком функции. Для этого следует установить два положения: 1. Любая точка этой прямой есть точка графика функции. 2. Любая точка графика функции лежит на построенной нами прямой.


Возьмем любую точку прямой, отличную от начала координат (точка $M_0 (x_0, y_0)$ на рис. а). Имеем для нее

$\frac{y_0}{x_0} = tg \phi = a$, т. е. $y_0 = ax_0$

точка лежит на графике функции. Обратно, если для некоторой точки $M_0(x_0, у_0)$ выполнено равенство $y_0 = ax_0$, т. е. $\frac{y_0}{x_0} = tg \phi$, то прямая, соединяющая эту точку с началом координат, наклонена к оси $Ох$ под углом $\phi$, т. е. совпадает с построенной нами прямой.

Таким образом, график функции $y = ax$ есть прямая, проходящая через начало координат под углом $\phi$ (где $tg \phi = a$) к оси $Ox$. В связи с этим , служащей графиком нашей функции. При $a > 0$ прямая располагается в I и III квадрантах (угол $\phi$ острый; рис. a), при $a < 0$ она располагается во II и IV квадрантах (угол $\phi$ тупой; рис. б), при $\phi = 0$ прямая совпадает с $Ox$.

Для построения графика линейной функции (1) сравним ее с функцией (2) и заметим, что при любом значении $x$ величина $y$, т. е. ордината графика линейной функции $y = ax + b$, получится из ординаты графика функции $y = ax$ прибавлением одного и того же слагаемого $b$. Отсюда ясно, что графиком функции (1) будет служить прямая линия, параллельная линии $y = ax$, служащей графиком функции (2). Эта прямая получается из прямой $у = ах$ сдвигом на $|b|$ единиц вверх при $b > 0$ или вниз при $b < 0$. При $x = 0$ имеем $у = b$; величина $b$ показывает, в какой точке график пересекает ось ординат (рис.).


Доказано, что графиком линейной функции является прямая линия, пересекающая ось $Oy$ в точке с ординатой $b$ и наклоненная к оси $Ox$ под углом, тангенс которого равен $a$.

Справедливо и обратное утверждение: всякая (не параллельная оси $Oy$) прямая на плоскости является графиком линейной функции (1).

Величины $a$ и $b$ называются, соответственно, угловым коэффициентом и начальной ординатой прямой, служащей графиком линейной функции (1). При $a > 0$ линейная функция возрастает, при $a < 0$ - убывает, при $a = 0$ является постоянной.

Для фактического построения графика $y = ax + b$ с данными числовыми значениями коэффициентов $a$ и $b$ используем то, что прямая линия определяется любыми двумя своими точками.

Произвольная прямая, не параллельная оси $Oy$, является графиком некоторой линейной функции. Если прямая параллельна оси $Oy$ и пересекает ось $Ox$ в точке с абсциссой $x = a$, то все точки прямой имеют такую же абсциссу; прямая определяется уравнением

$x = a$, (3)

не содержащим $y$.

Можно вообще рассмотреть произвольное уравнение первом степени (линейное уравнение) относительно $x$ и $y$:

$Ax + By + C = 0$. (4)

Такое уравнение называется общим линейным уравнением. При $B \neq 0$ оно, по существу, определяет $y$ как линейную функцию $x$:

$y = - \frac{A}{B} x - \frac{C}{B}$, т. е. $y = ax + b$, где $a = - \frac{A}{B}, b = - \frac{C}{B}$.

Если функция $y =f(x)$ задана уравнением $F(x, y) = 0$, связывающим $x$ и $y$, которое не разрешено относительно $y$, то говорят, что функция задана в неявном виде-, уравнение (4) задает линейную функцию в неявном виде.

Если $B = 0$, то считаем $A \neq 0$ и находим

$Ax + C = 0, x = - \frac{C}{A}$,

т. е. получаем уравнение прямой, параллельной оси $Oy$. Окончательный вывод: общее линейное уравнение (4) всегда определяет на плоскости прямую линию (предполагается, что $A$ и $B$ одновременно нулю не равны).