Так как исследование знака квадратного трехчлена по существу полностью проведено в статье "График квадратного трехчлена" в связи с построением графика этой функции, можно здесь воспользоваться этими результатами. В зависимости от знаков дискриминанта $d = b^{2}-4ac$ и старшего коэффициента $a$ представляются следующие возможности:


1) $d < 0, a > 0$. Неравенство (1) выполнено при всех значениях $a$ (трехчлен положителен для всех значений аргумента). Этот случай представлен рис. а.
2) $d < 0, a < 0$. Неравенство не выполняется ни для одного значения х, множество его решений пусто рис. б.
3) $d = 0, a > 0$. Такой трехчлен изображен на рис. д; неравенство (1) выполняется для всех $x$, кроме $x = - b/(2a)$ (двойной корень трехчлена).
4) $d = 0, a < 0$. Неравенство не может выполняться ни при одном значении $x$ (трехчлен отрицателен всюду, кроме единственной точки $x = -b/(2a)$, где он обращается в нуль; рис. е.
5) $d > 0, a > 0$. График трехчлена изображен на рис. в. Неравенство (1) выполняется всюду вне интервала между корнями. Если$x_{1}, x_{2}$ - корни трехчлена, причем $x_{1} < x_{2}$, то неравенство (1) выполняется в бесконечных интервалах $(- \infty, x_{1})$ и $(x_{2}, \infty)$.
6) $d > 0, a < 0$. График показан на рис. г; неравенство удовлетворено в интервале между корнями трехчлена $(x_{1}, x_{2})$.

В сжатой форме эти положения о знаке квадратного трехчлена формулируют так: квадратный трехчлен с мнимыми корнями имеет постоянный знак, совпадающий со знаком его старшего коэффициента; квадратный трехчлен с различными действительными корнями имеет в интервале между корнями знак, противоположный знаку его старшего коэффициента, а вне интервала между корнями - знак, совпадающий со знаком старшего коэффициента.

Эти результаты для трехчлена с действительными корнями $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ можно подкрепить следующими типичными рассуждениями, которые окажутся далее полезными при решении неравенств высших степеней и неравенств, содержащих дробные рациональные функции. Запишем разложение квадратного трехчлена на множители:

$ax^{2} + bx + c = a(x - x_{1})(x - x_{2})$. (2)

Очевидно, что в областях $x < x_l, x_{1} < x < x_{2}, x > x_{2}$ трехчлен имеет определенный знак, одинаковый для каждой точки данной области. При переходе же из области в область, т. е. при переходе х через одно из значений $x_{1}: x_{2}$, знак его изменяется. Теперь достаточно установить знак трехчлена для каждой из трех указанных областей.

1. $x < x_{1}$. Имеем $x - x_{1} < 0, x - x_{2} < 0$; знак трехчлена совпадает со знаком $a$.
2. $x_{1} < x < x_{2}$; в этом случае $x - x_{1} > 0, х - x_{2} < 0$; знак трехчлена противоположен знаку $a$.
3. $x > x_{2}$. Теперь уже $x - x_{1} > 0, x - x_{2} > 0$, и знак трехчлена снова совпадает со знаком $a$.

Выводы графического и алгебраического исследования полностью совпали.