Рассмотрим функцию

$y = x^2$ (1)

установим ее простейшие свойства и построим график этой функции.

1. Функция определена при всех значениях $x$ значения функции неотрицательны: она равна нулю при $x=0$ и положительна при любых других значениях $x$. Следовательно, график функции проходит через начало координат и располагается выше оси $Ox$ (имея с ней общую точку $O(0, 0)$).

2. Функция четная: $(-x)^2 = x^2$; график функции симметричен относительно оси $Oy$. Поэтому достаточно построить его для $x \geq 0$ и затем зеркально отразить относительно $Oy$.

3. При $x \geq 0$ функция $y = x^2$ - возрастающая; действительно, при $O \leq x_1 < x_2$, имеем $x_1^2 < x_2^2$, т. е. $y_1 < y_2$. Для отрицательных $x$, т. е. в интервале $(- \infty, 0]$, функция убывает. Всего имеем два интервала монотонности:

1) интервал убывания $(- \infty, 0]$,
2) интервал возрастания $[0, + \infty)$.

Точка $O(0, 0)$ - точка минимума функции. В ней функция принимает свое наименьшее значение, равное нулю.

4. Для правильного изображения графика функции полезно рассмотреть более подробно характер ее изменения («поведение») при $x$, весьма близких к нулю, и при весьма больших $x$.

Если $x$ принимает, например, большие положительные значения, скажем $x = 10, x = 100, x = 1000$ и т. д., то $у$ также быстро растет (при $x \rightarrow \infty$ функция $y = x^2$ также стремится к бесконечности). При этом $у$ растет не только в абсолютном смысле, но и по отношению к $x$. Именно, находим из $y = x^2$

$\frac{y}{x} = x$ (2)

откуда видно, что с увеличением $x$ отношение $\frac{y}{x}$ растет неограниченно, стремится к бесконечности. Поэтому график функции поднимается вверх (вправо) весьма круто (рис.).

При очень малых $x$, например при $x = 0,1, x = 0,01, x = 0,001$, $у$ принимает, соответственно, еще более быстро убывающие значения 0,01; 0,0001; 0,000001, малые не только «абсолютно», но и по отношению к $x$ (что видно из того же равенства (2)). Геометрически это означает, что наклон хорды, соединяющей точку $(x, y)$ графика с точкой $(0,0)$, при малых $x$ будет очень мал: график подходит к началу координат, тесно сближаясь с осью $Ox$, «касаясь» оси $Ox$ (рис.).


Для более точного изображения графика составим еще небольшую табличку значений функции, например:


Полученные на рисунке точки соединим плавной линией с учетом общих, установленных выше свойств функции.

Графики функций $y = ax^2$ имеют такой же характер; при $a > 0$ ординаты графика функции $y = ax^2$ отличаются множителем $a$ от ординат графика функции $y = x^2$. При $a < 0$ получается график, симметрично расположенный с графиком $y = |a| x^2$ относительно оси $Ox$.


На рис. показаны графики функций $y = ax^2$ при $a = 1, 1/2, 2, -1, -1/2, -2$.

Напомним, что график функции вида $y = ax^2$ называется параболой; ось симметрии графика называется осью параболы (здесь она совпадает с осью $Oy$), точка пересечения параболы со своей осью-вершиной параболы (здесь вершина совпадает с началом координат).