Таким образом, корнем $n$ - й степени из числа $a$ называется каждое число $b$ такое, что его $n$ - я степень равна $a$.

Действие отыскания корня из числа $a$ называется действием извлечения корня $n$-й степени из $a$. Действие извлечения корня степени $n$ является действием, обратным по отношению к действию возведения числа в степень $n$.

Если $n$ — нечетное число, то, как можно доказать, для любого действительного числа $a$ существует единственное значение корня степени $n$ (в действительной области).

Если $n$ — четное, то действие извлечения корня степени $n$ из отрицательного числа невозможно, так как четная степень любого числа неотрицательна. Можно показать, что для любого положительного числа $a$ корень четной степени $n$ имеет два значения, равных по абсолютной величине и противоположных по знаку. Например, числа $+3, —3$ суть корни квадратные из числа $9$.


Его единственность видна из такого соображения. Если бы имелось два положительных корня $b_{1}$ и $b_{2}$, то одно из чисел $b_{1}, b_{2}$ было бы больше другого, например, $b_{1} > b_{2}$. Но тогда и $b_{1} > b_{2}$, т. е. оба числа не могли бы быть корнями степени $n$ из одного и того же числа $a$. Это рассуждение применимо и к случаю корней нечетной степени.

Наметим обоснование утверждения о существовании корня $\sqrt[n]{a}$ произвольной степени из любого положительного действительного числа. Прежде всего, может случиться, что корень существует в области натуральных чисел. Если это так, то этим задача решается; если в области натуральных чисел корня не имеется, то найдутся два последовательных целых числа $k$ и $k+1$ такие, что $k^{n} < a, (k + 1)^{n} > a$. Теперь будем рассматривать десятичные дроби вида $k,a_{1}$, где $a_{1} = 0, 1, \cdots, 9$. Либо среди них имеется искомый корень, либо снова получим для некоторого $a_{1}$
$(k,a_{1})^{n} < a, (k,a_{1} + 0,1)^{n} > a$.
Далее будем искать приближение корня в виде дроби с двумя знаками после запятой и т. д. Таким путем в принципе можно построить ряд десятичных приближений по недостатку и по избытку для некоторого действительного числа, которое и следует принять за значение искомого корня.

Корень степени $n$ обозначается с помощью знака радикала $\sqrt[n]{\:}$; при этом для придания символу $\sqrt[n]{a}$ вполне определенного смысла условимся понимать под $\sqrt[n]{a}$:

1) единственное значение корня в случае нечетного $n$ (а в этом случае — любое действительное число).

2) арифметический корень степени $n$ из $a$ в случае четного $n$ (в этом случае $a > 0$).

Корень из нуля при любом показателе $n$ равен нулю.

В случае, если мы хотим рассматривать оба значения корня четной степени из положительного числа, то пишем $\pm \sqrt[n]{a}$; если перед корнем четной степени знак не написан, то всегда имеют в виду арифметическое значение корня.

В случае корня степени 2 (квадратного корня) пишут просто $\sqrt{a}$; например, $\sqrt{9} = 3$. Корень третьей степени называют кубическим корнем.

Если $a$ — произвольное действительное число, то
$\sqrt[n]{a^{n}} = a$
при нечетном $n$ и
$\sqrt[n]{a^{n}} = |a|$
при четном $n$ (в частности, в случае квадратного корня). Так, например,
$\sqrt[3]{(-3)^{3}} = - 3$, но $\sqrt{(-3)^{2}} = |-3| = 3$.
Укажем основные правила действий над корнями; для простоты предположим, что числа под знаком корня — положительные.

1) Извлечение корня из произведения. Корень из произведения равен произведению корней из сомножителей:
$\sqrt[m]{ab} = \sqrt[m]{a} \sqrt[m]{b}$. (1)

Доказательство. Для доказательства этого (и дальнейших) свойства достаточно проверить, что при возведении обеих частей равенства (1) в степень $m$ получим одно и то же число. При этом мы пользуемся соотношением $(]\sqrt[m]{a})^{m} = а$, непосредственно вытекающим из определения корня $m$ - й степени. Имеем
$(\sqrt[m]{ab})^{m} = ab$
$(\sqrt[m]{a} \sqrt[m]{b})^{m} = (\sqrt[m]{a})^{m} (\sqrt[m]{b})^{m} = ab$,
откуда и вытекает требуемое свойство.

2) Возведение корня в степень. Для возведения корня в степень достаточно возвести в, эту степень подкоренное выражение, сохраняя показатель корня.

Это правило записывается так:
$(\sqrt[m]{a})^{k} = \sqrt[m]{a^{k}}$(2)
Свойство 2) непосредственно вытекает из свойства 1), а также может быть проверено возведением обеих частей равенства (2) в степень $m$.

3) Извлечение корня из частного. Корень из частного равен частному от деления корня из числителя на корень из знаменателя:
$\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$. (3)

4) Извлечение корня из степени. Пусть показатель
степени $m$ является кратным показателя корня $n: m = nk.$ Тогда
$\sqrt[n]{a^{m}} = a^{m/n} = a^{k}$,(4)
т. е. при извлечении корня из степени показатель степени следует разделить на показатель корня.

Пусть в общем случае $m$ не является кратным $n$; выполним деление $m$ на $n$ с остатком; $m = nq + r$. Тогда
$\sqrt[n]{a^{nq+r}} = a^{q} \sqrt[n]a^{r}$.(5)
Действительно, применяя уже найденные правила, получим
$\sqrt[n]{a^{nq+r}} = \sqrt[n]{a^{nq}a^{r}} = \sqrt[n]{a^{nq}} \sqrt[n]{a^{r}} = a^{q} \sqrt[n]{a^{r}}$.

Пример 1. $\sqrt[7]{2^{58}} = \sqrt[7]{2^{7 \cdot 8 + 2}} = 2^{8} \sqrt[7]{2^{2}} = 128 \sqrt[7]{4}$.

5) Извлечение корня из корня. Для извлечения корня из корня достаточно перемножить показатели корней, сохранив подкоренное выражение:
$\sqrt[l]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[m]{a}$. (6)

6) Сокращение показателя корня и показателя подкоренного выражения на их общий множитель. Пусть в выражении $\sqrt[m]{a^{n}}$ н. о. д. показателей $m$ и $n$ равен $k$ (3). Это значит, что $m = kr$ и $n = ks$, причем $r$ и $s$ — целые взаимно простые числа. Тогда $\sqrt[m]{a^{n}} = \sqrt[r]{a^{s}}$. Это означает, что если показатели корня и подкоренного выражения имеют общий делитель, то на него их можно сократить, не меняя величины корня. Например: $\sqrt[15]{a^{12}} = \sqrt[5 \cdot 3]{a^{4 \cdot 3}} = \sqrt[5]{a^{4}}$.

Обратно, если показатели корня и подкоренного выражения умножить на одно и то же число, то корень от этого не изменится. Например: $\sqrt[11]{a^{6}} = \sqrt[11 \cdot 4]{a^{6 \cdot 4}} = \sqrt[44]{a^{24}}$.

7) Приведение корней к общему показателю. Пользуясь только что установленным свойством, можно два или несколько корней приводить к общему показателю, который представляет собой н. о. к. показателей всех данных корней.

Это преобразование полезно применять при умножении корней с разными показателями.

Пример 2. Упростить произведение $\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[6]{2}$.

Решение. $\sqrt{2} \sqrt[3]{4} \sqrt[6]{2} = \sqrt[6]{2^{3}} \sqrt[6]{4^{2}} \sqrt[6]{2} = \sqrt[6]{2^{8}} = \sqrt[6]{2^{8}} = \sqrt[3]{2^{4}} = 2 \sqrt[3]{2}$. Здесь н. о. к. показателей корней равнялось 6; в процессе преобразования мы применили также правило 6) сокращения показателей степени и корня и правило 1).

Аналогичным образом выполняется и деление корней.
Пример 3. $ \frac{\sqrt[3]{36} \sqrt[4]{9}}{\sqrt[6]{24}} = \frac{\sqrt[]{2^{8} \cdot 3^{8}} \sqrt[12]{3^{6}}}{\sqrt[12]{2^{6} \cdot 3^{2}}} = \sqrt[12]{2^{2} \cdot 3^{12}} = 3 \sqrt[6]{2}$.