Мнимая единица
Множество комплексных чисел, комплексное число
Действительная и мнимая часть числа
Мнимое число
Комплексно сопряженные числа
При постепенном расширении рассматриваемой числовой области натуральные числа — целые числа — рациональные числа — действительные числа достигается возможность выполнения сначала всех рациональных действий над числами, а затем такого, например, действия, как извлечение корня из положительного числа. Тем не менее и в области действительных чисел не все операции осуществимы. Так, например, во множестве действительных чисел невозможно извлечение квадратных корней из отрицательных чисел. Если уравнение $x^{2} - 1 = 0$ решается в области рациональных чисел: $x = \pm 1$, а уравнение $x^{2} - 2 = 0$ — в области действительных чисел: $x = \pm 2$, то уравнение $x^{2} + 1 = 0$ не имеет действительных корней. В самом деле, квадрат любого действительного числа неотрицателен и при любом $x$ имеем $x^{2} + 1 > 0$. Таким образом, внешне весьма сходные, уравнения второй степени $x^{2} – 1 = 0, x^{2} + 1 = 0$ оказываются весьма различными по своим свойствам: одно из них имеет два решения, другое — ни одного! Такое положение может быть устранено введением нового вида чисел (комплексных чисел), расширяющих множество действительных чисел (подобно тому как множество рациональных чисел расширило множество целых чисел и т. д.). При этом уже оказывается возможным не только приписать смысл корню квадратному из отрицательных чисел, но и вообще достичь положения, когда бы все алгебраические уравнения имели (в области комплексных чисел) решения.
Для определения комплексных чисел сначала введем некоторый символ $i$, который назовем мнимой единицей.
Этому символу приписывается (постулируется) свойство удовлетворять уравнению $x^{2} + 1 = 0$:
$i^{2} + 1 = 0$, или $i^{2} = — 1$. (1)
Теперь рассмотрим множество всех двучленов вида
$a + bi$,
где $a, b$ — произвольные действительные числа, и условимся производить над такими двучленами действия сложения, вычитания и умножения по обычным правилам алгебры с единственным дополнительным условием:
$i \cdot i = i^{2} = -1$.
Так определенное множество выражений $a + bi$ называется множеством комплексных чисел. Само выражение $z = a + bi$ при любых $a, b$ называется комплексным числом.
При этом $a$ называется действительной частью числа $a + bi$, а $b$ — его мнимой частью или коэффициентом при мнимой единице.
Данное определение необходимо дополнить условием равенства двух комплексных чисел:
Два комплексных числа считают равными в том и только в том случае, если порознь равны друг другу их действительные и мнимые части; это означает, что если $a_{1} + b_{1}i = a_{2} + b_{2}i$, то $a_{1} = a_{2}$ и $b_{1} = b_{2}$ и, обратно, если $a_{1} = a_{2}$ и $b_{1} = b_{2}$, то и $a_{1} + b_{1}I = a_{2} + b_{2}i$.
Второе важное дополнительное соглашение состоит в том, что действительные числа рассматриваются как частный случай комплексных. Именно, если мнимая часть комплексного числа равна нулю, то вместо $z = a + 0 \cdot i$ пишут просто $z = a$ и не отличают такого комплексного числа от действительного числа $a$.
В частности, комплексное число равно нулю в том и только в том случае, когда равны нулю его действительная и мнимая части; это означает, что если $a + bi = 0$, то $a = 0$ и $b = 0$ и, обратно, если $a = 0$ и $b = 0$, то и $a + bi = 0$.
Комплексное число, у которого равна нулю действительная часть, также записывают коротко в виде $z = bi$ и называют чисто мнимым числом. Выражение «мнимое число» обычно применяют, чтобы указать, что комплексное число $z = z+ bi$ не является действительным, т. е. имеет ненулевую мнимую часть: $b \neq 0$.
Два комплексных числа $a + bi$ и $a-bi$, действительные части которых равны, а мнимые противоположны по знаку, называют комплексно сопряженными числами; число, комплексно сопряженное с числом $z$, обозначается через $\overline{z}$:
$z = a+bi, \overline{z} = a-bii$. (2)
Очевидно, что $\overline{\overline{z}} = z$.
Термин «мнимое число» свидетельствует о недоверии, с которым вначале воспринималось введение в математику этого вида чисел. В дальнейшем комплексные числа оказались, однако, чрезвычайно полезными как в самой математике, так и, благодаря важным приложениям, во многих инженерных дисциплинах.