Разделы 
Дополнительно
Элементарное исследование поведения функции.
График четной функции
График нечетной функции
Возрастающая, убывающая функция
Точка максимума минимума функции
Асимптота графика функции
Систематическое и полное исследование функций составляет одну из главных задач области математики, называемой математическим анализом. В элементарной математике также рассматривают простейшие вопросы, связанные с исследованием функций. При этом под исследованием функции понимают установление ряда ее свойств. Итогом такого исследования может быть построение графика функции. В связи с этим вспомним некоторые понятия, относящиеся к функциям.
а) Нулем (или корнем) функции $f(x)$ называется такое значение аргумента $x$, при котором функция обращается в нуль. Графически нули функции суть точки пересечения ее графика с осью $Ox$.
 |  |
| Рис.1 | Рис.2 |
б)
Функция $f(x)$, область определения которой симметрична относительно начала отсчета $O$ (например, является сегментом $[-a, a]$), называется четной, если для любого $x$ из ее области определения выполнено равенство
$f(-x) = f(x)$. (1)
График четной функции симметричен относительно оси $Oy$ (рис.1), так как вместе с точкой $(x, f(x))$ ему будет принадлежать и симметричная точка $(-x, f(x))$. Обратно, если график симметричен относительно оси $Oy$, то функция — четная.
$f(-x) = f(x)$. (1)
в)
Функция $f(x)$, область определения которой на оси $Ox$ симметрична относительно начала $O$, называется нечетной, если для любого $x$ из ее области определения выполнено равенство
$f(-x)= f(x)$. (2)
График нечетной функции симметричен относительно начала координат, так как вместе с любой его точкой $(x, f(x))$ ему принадлежит и симметричная точка $(-x, -f(x))$ (рис.2). Обратно, если график функции симметричен относительно $O$, то функция — нечетная.
$f(-x)= f(x)$. (2)
Примеры четных и нечетных функций:
$y = x^{2}, y = x^{4}, y = \cos x, y = tg^{2} x$ (четные функции);
$y = x, y = x^{2}, y = \sin x, у = lg \frac{1+x}{1-x}$ (нечетные функции).
Многие функции, например $y = x^{2} + x, y = \sin x + \cos x$ не являются ни четными, ни нечетными функциями.
г)
Функция называется возрастающей в некотором промежутке, лежащем в ее области определения, если для любых двух значений $x_{1}, x_{2}$ из этого промежутка из неравенства $x_{1} < x_{2}$ следует $f(x_{1}) < f(x_{2})$ (большим значениям аргумента отвечают большие значения функции). Если из $x_{1} <
< x_{2}$ следует лишь неравенство $f(x_{1}) \leq f(x_{2})$, то функция называется неубывающей. Аналогично, убывающей называется функция, для которой из $x_{1} < x_{2}$ следует $f(x_{1}) >f(x_{2})$, а невозрастающей — функция, для которой при $x_{1} <
< x_{2}$ выполняется неравенство $f(x_{1}) \geq f(x_{2})$. Интервал, на котором функция убывает или возрастает, называется интервалом монотонности функции.
Функция $y = |x| + x$, которая также может быть задана парой равенств
< x_{2}$ следует лишь неравенство $f(x_{1}) \leq f(x_{2})$, то функция называется неубывающей. Аналогично, убывающей называется функция, для которой из $x_{1} < x_{2}$ следует $f(x_{1}) >f(x_{2})$, а невозрастающей — функция, для которой при $x_{1} <
< x_{2}$ выполняется неравенство $f(x_{1}) \geq f(x_{2})$. Интервал, на котором функция убывает или возрастает, называется интервалом монотонности функции.
$y = \begin{cases} 0,& x<0\\ 2x, & x \geq 0 \end{cases}$
является неубывающей функцией на всей числовой оси. Она возрастает на положительной полуоси (рис. 3).
Рис.3
д)
Точка $x_{0}$ называется точкой максимума (минимума) функции $y = f(x)$, если функция определена в самой этой точке и в некоторой окрестности точки $x_{0}$ выполняется неравенство
$f(x_{0}) \geq f(x)$ (для максимума),
$f(x_{0}) \leq f(x)$ (для минимума).
$f(x_{0}) \geq f(x)$ (для максимума),
$f(x_{0}) \leq f(x)$ (для минимума).
Рис.4
На рис. 4 точки $x_{1}, x_{3}$ суть точки максимума, а точки $x_{2}, x_{4}$ — точки минимума функции. Максимум функции — ее наибольшее значение по сравнению с «соседними» точками слева и справа, но не обязательно по сравнению с отдаленными точками. Практически, если находятся интервалы монотонности, то на их. стыке часто обнаруживаются точки максимума или минимума, как на рис. 4. Термин «экстремум» функции объединяет понятия максимума и минимума: точки $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ суть точки экстремума функции $f(x)$.
Рис.5
е)
Прямая линия называется асимптотой графика функции, если график функции неограниченно сближается с этой прямой при удалении точки графика в бесконечность. На рис. 5, а прямые $x=1$ и $y = 0$ — асимптоты графика функции. На рис. 5,б показан график с асимптотой $y = x$ (биссектриса первого координатного угла).
При исследовании функции необходимо ответить на следующие вопросы.
1) Область определения функции; 2) область изменения функции, т. е. область ее значений; 3) нули функции; интервалы знакопостоянства функции (т. е. интервалы, в которых функция положительна или отрицательна); точка пересечения графика с осью $Oy$ (если функция определена при $x = 0$); 4) свойства симметрии графика функции (четность или нечетность функции);
5) интервалы возрастания и убывания функции; 6) точки максимума и минимума функции; 7) асимптоты графика функции.
Разумеется, не всегда мы можем элементарными средствами получить точный ответ на все вопросы. Напротив, иногда возникают и другие, дополнительные вопросы различного содержания. Здесь указана примерная схема, которой мы в общих чертах придерживаемся при исследовании функции и построении ее графика.
