Рассмотрим задачу извлечения корня натуральной степени $n$ из произвольного комплексного (в частности, действительного) числа $z$; при этом будем искать все возможные значения корня, действительные и комплексные. Для решения задачи в общем виде используется представление комплексного числа $z \neq 0$ в тригонометрической форме:
$z = r( \cos (\phi_{0} + 2kn) + i \sin( \phi_{0} + 2k \pi))$. (1)
Здесь мы учли, что аргумент комплексного числа определен с точностью до целого числа периодов $2 \pi$, так что $\phi_{0}$ —одно из значений аргумента (например, $0 \leq \phi_{0} < 2 \pi$), а $\phi_{0} + 2k \pi$ при $k = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots $ — совокупность всех значений аргумента числа $z$.
По общему определению понятия корня число $w$ называется корнем степени $n$ из $z$, если $w^{n} = z$. Запишем неизвестное $w$ также в тригонометрической форме:
$w = \rho (\cos \omega + i \sin \omega)$. (2)
Тогда, применяя формулу Муавра, перепишем равенство $w^{n} = z$ в виде
$\rho^{n} (\cos n \omega + i \sin n \omega) = r ( \cos ( \phi_{0} + 2k \pi) + i \sin ( \phi_{0} + 2k \pi))$. (3)
Обе части равенства (3) суть комплексные числа, заданные в тригонометрической форме; условия их равенства, дают два соотношения:
$\rho^{n} = r, n \omega = \phi_{0} + 2k \pi$. (4)
Первое из соотношений (4) показывает, что
$\rho = \sqrt[n]{r}$
(так как $\rho > 0$ и $r > 0$, то корень понимается в арифметическом смысле). Второе равенство (4) выражает тот факт, что аргумент $n \omega$ числа $w^{n}$ равен одному из значений аргумента числа $z$. Из этого равенства находим
$\omega \frac{ \phi_{0} + 2k \pi}{n}$. (5)
и оказывается, что при разных значениях $k$ получаются, вообще говоря, разные значения корня $w$. Обозначим значение $\omega$, соответствующее каждому выбору числа $k$, через $\omega_{k}$:
$\omega_{k} = \frac{\phi_{0} + 2k \pi}{n}$
Будем давать $k$ значения $0, 1, 2, \cdots, n – 1$. При этом получим $\omega_{0}, \omega_{1}, \cdots, \omega_{n-1}$ и вместе с тем $n$ значений корня
$w_{k} = \sqrt[n]{r} \left ( \cos \frac{\phi_{0} + 2k \pi}{n} + i \sin \frac{\phi_{0} + 2k \pi}{n} \right )$. (6)
Покажем, что все эти значения различны, а при остальных возможных значениях $k$ новых значений корня $w$ уже не получится. Для этого заметим, что разность аргументов $\omega_{k}$ и $\omega_{l}$ будет равна
$\omega_{k} - \omega_{l} = \frac{ \phi_{0} + 2k \pi}{n} - \frac{\phi_{0} + 2l \pi}{n} = 2 \pi \cdot \frac{k-l}{n}$
Числа $w_{k}$ и $w_{l}$ совпадут в том и только в том случае, если $k – l$ делится на $n$ нацело. Для $k = 0, 1, 2, \cdots , n-1$ разность любых двух значений на $n$ не разделится. Если же теперь брать $k=n, n+1, \cdots$ или $k = - 1, -2$ то значения корней $w_{k}$ будут повторяться:
$w_{n}=w_{0}, w_{n+1} = w_{1}, \cdots$;
$w_{-1} = w_{n-1}, w_{-2} = w_{n-2}, \cdots$.
Таким образом, все значения корня степени $n$ получаются из формулы (6) при $k = 0, 1, 2, \cdots , n-1$. Корень степени $n$ из любого числа, отличного от нуля, имеет в комплексной области ровно $n$ различных значений.
В случае $z = 0$ единственное значение $\sqrt[n]{0}$ также равно нулю; для достижения общности формулировки можно говорить, что корень степени $n$ из нуля также имеет $n$ значений, которые все совпадают между собой (и равны нулю).
Пример 1. Найти все значения корней: а) $\sqrt[4]{-16}$; б) $\sqrt[3]{27}$.
Решение, а) Записываем $-16$ в тригонометрической форме:
$-16 = 16 (\cos (\pi + 2k \pi) + i \sin (\pi + 2k \pi))$.
Теперь
$w_{k} = \sqrt[4]{-16} = \sqrt[4]{16} \left ( \cos \frac{\pi + 2k \pi}{4} + i \sin \frac{\pi + 2k \pi}{4} \right )$.
При $k = 0,1,2,3$ получим
$w_{0} = 2 \left ( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{ \pi}{4} \right ) = \sqrt{2} (1 + i)$,
$w_{1} = 2 \left ( \cos \frac{3 \pi}{4} + i \sin \frac{3 \pi}{4} \right ) = \sqrt{2} (-1 + i)$,
$w_{2} = 2 \left ( \cos \frac{5 \pi}{4} + i \sin \frac{5 \pi}{4} \right ) = - \sqrt{2} (1 + i)$,
$w_{3} = 2 \left ( \cos \frac{7 \pi}{4} + i \sin \frac{7 \pi}{4} \right ) = \sqrt{2} (1 - i)$,
или, вообще,
$w = \sqrt{2} (\pm 1 \pm i)$.
6) $27 = 27 ( \cos (0 + 2k \pi) + i \sin (0 + 2k \pi))$;
$w_{k} = \sqrt[3]{27} = 3 \left ( \cos \frac{2k \pi}{3} + i \sin \frac{2k \pi}{3} \right )$;
$w_{0} = 3, w_{1} = 3 \left ( \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} \right ) = \frac{3}{2} (- \sqrt{3} + i)$,
$ w_{2} = 3 \left ( - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2} \right ) = - \frac{3}{2} (\sqrt{3} + i)$.
Пример 2. Вычислить: a) $\sqrt[4]{-8-8\sqrt{3i}}$; б) $\sqrt[3]{27i}$.
Решение, а) Находим
$r = \sqrt{(-8)^{2} + (-8 \sqrt{3})^{2}} = 16$.
Далее,
$\cos \phi = - \frac{8}{16} = - \frac{1}{2}, \sin \phi = - \frac{8 \sqrt{3}}{16} = - \frac{\sqrt{3}}{2}, \phi = 240^{ \circ}$
Таким образом,
$ - 8 – 8 \sqrt{3} i = 16 [ \cos (240^{\circ} + 360^{\circ} k) + i \sin (240^{\circ} + 360^{\circ} k)]$.
Следовательно,
$\sqrt[4]{ - 8 – 8 \sqrt{3} i } = 2 [ \cos (60^{\circ} + 90^{\circ} k) + i \sin (60^{\circ} + 90^{\circ} k)]$.
Отсюда при $k = 0, 1, 2, 3$ найдем все четыре значения искомого корня:
$w_{0} = 2 (\cos 60^{\circ} + i \sin 60^{\circ}) = 1 + \sqrt{3} i$,
$w_{1} = 2 (\cos 150^{\circ} + i \sin 150^{\circ}) = - \sqrt{3} + i $,
$w_{2} = 2 (\cos 240^{\circ} + i \sin 240^{\circ}) = - 1 - \sqrt{3} i $,
$w_{3} = 2 (\cos 330^{\circ} + i \sin 330^{\circ}) = \sqrt{3} - i $.
б) Аналогично находим
$r = 27, \cos \phi = 0, \sin \phi = 1, \phi = 90^{\circ}$,
и, следовательно,
$27i = 27 [\cos (90^{\circ} + 360^{\circ} k) + i \sin (90^{\circ} + 360^{\circ} k)]$.
Значит,
$\sqrt[3]{27i} = 3 [ \cos (30^{\circ} + 120^{\circ} k) + i \sin (30^{\circ} + 120^{\circ} k)]$,
и при $k = 0, 1, 2$ получим
$w_{0} = 3 (\cos 30^{\circ} + i \sin 30^{\circ}) = \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2} i$,
$ w_{1} = 3 (\cos 150^{\circ} + i \sin 150^{\circ}) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2} i $,
$ w_{3} = 3 (\cos 270^{\circ} + i \sin 270^{\circ}) = - 3i $.