В дальнейшем мы будем использовать не только градусную, но и радианную меру углов; радианное измерение углов станет особенно важным при переходе к тригонометрическим функциям числового аргумента. В связи с этим напомним некоторые факты из геометрии, относящиеся к градусной и радианиой системам измерения углов и дуг:
1) при измерении углов и дуг в радианной системе наименование единицы измерения - радиана обычно опускают и говорят, например, «угол равен $\frac{ \pi}{4}$» вместо «угол равен $\frac{ \pi}{4}$ радиана»; «угол равен 1000» вместо «угол равен 1000 радиан»;
2) при переходе от градусной меры ($\alpha$ градусов) к радианной мере (а радиан) пользуются формулой
$a = \frac{\pi \cdot \alpha^{ \circ} }{180^{ \circ} }$ (1)
3) при переходе от радианной меры ($\alpha$ радиан) к градусной мере ($\alpha$ градусов) пользуются формулой
$\alpha^{ \circ} = \frac {a 180^{\circ}}{ \pi}$ (2)
Полезно запомнить соответствующие значения в градусной и радианной мере некоторых наиболее часто встречающихся углов, приведенные в следующей таблице.
Рассмотрим теперь, как изменяется (по абсолютной величине и знаку) каждая из основных тригонометрических функций при изменении угла $\alpha$ от 0 до $2 \pi$. За их изменением проследим, пользуясь единичной окружностью.
I. $\sin \alpha$. Согласно первой формуле $\begin{cases} \sin \alpha = y, \cos \alpha = x \\ tg \alpha = \frac{y}{x}, ctg \alpha = \frac{x}{y} \\ sec \alpha = \frac{1}{x}, cosec \alpha = \frac{1}{y} \end{cases}$. $\sin \alpha = y$, где $y$ - ордината конца подвижного единичного радиуса-вектора.
1) $0 \leq \alpha \leq \frac{ \pi}{2}$ (первая четверть). Если углы $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$ удовлетворяют неравенствам $0 \leq \alpha_{1} < \alpha_{2} \leq \frac{ \pi}{2}$, то $y_{1} < y_{2}$, следовательно, и $\sin \alpha_{1} < sin \alpha_{2}$. При возрастании угла $\alpha$ от 0 до $\frac{ \pi}{2} \sin \alpha$ монотонно возрастает от 0 до 1.
2) $\frac{ \pi}{2} \leq \alpha \leq \pi$ (вторая четверть). Если углы $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$ удовлетворяют неравенствам $\frac{ \pi}{2} \leq \alpha_{1} < \alpha_{2} \leq \pi$, то $y_{1} > y_{2}$ следовательно, и $\sin \alpha_{1} > \sin \alpha_{2}$. При возрастании угла $\alpha$ от $\frac{ \pi}{2}$ до $\pi \sin \alpha$ монотонно убывает от 1 до 0.
3) $\pi \leq \alpha \leq \frac{3 \pi}{2}$ (третья четверть). При возрастании угла $\alpha ( \alpha_{2} > \alpha_{1})$ от $\pi$ до $\frac{3 \pi}{2} \sin \alpha$ монотонно убывает $(y_{2} < y_{1})$ от 0 до -1.
4) $\frac{ 3 \pi}{2} \leq \alpha \leq 2 \pi$ (четвертая четверть). При возрастании угла $\alpha (\alpha_{2} > \alpha_{1})$ от $3 \pi/2$ до $2\pi \sin \alpha$ монотонно возрастает ($y_{2} > y_{1}$) от -1 до 0.
Вывод. При любом угле $\alpha$ абсолютная величина $\sin \alpha$ не превосходит 1, что записывается так:
$|\sin \alpha| \leq 1$ (3)
или в равносильной форме:
$-1 \leq \sin \alpha \leq 1$. (4)
II. $\cos \alpha$. По второй формуле $\begin{cases} \sin \alpha = y, \cos \alpha = x \\ tg \alpha = \frac{y}{x}, ctg \alpha = \frac{x}{y} \\ sec \alpha = \frac{1}{x}, cosec \alpha = \frac{1}{y} \end{cases}$. $\cos \alpha = x$, где $x$ - абсцисса конца подвижного единичного радиуса-вектора (рис.).
1) $0 \leq \alpha \leq \frac{ \pi}{2}$ (первая четверть). Для углов $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$, удовлетворяющих неравенствам $0 \leq \alpha_{1} < \alpha_{2} \leq \pi/2$ (рис. a), выполняется неравенство $x_{2} < x_{1}$ ($x_{1} = OM_{1}^{\prime}$ и $x_{2} = OM_{2}^{\prime}$), следовательно, $\cos \alpha_{2} < \cos \alpha_{1}$. При возрастании угла $\alpha$ от 0 до $\frac{ \pi}{2} \cos \alpha$ монотонно убывает от 1 до 0.
2) $\frac{ \pi}{2} \leq \alpha \leq \pi$ (вторая четверть). При возрастании угла $\alpha$ ( $\alpha_{4} > \alpha_{3}$) от $\frac{ \pi}{2}$ до $\pi \cos \alpha$ монотонно убывает ($x_{4} < x_{3}$, где $x_{4} = - |OM_{4}^{ \prime} |$ и $x_{3} = - |OM_{3}^{ \prime}|$) от 0 до -1 (рис.а).
3) $\pi \leq \alpha \leq \frac{3 \pi }{2}$ (третья четверть). Для углов $\alpha_{5}$ и $\alpha_{6}$, удовлетворяющих неравенствам $\pi \leq \alpha_{5} < \alpha_{6} \leq \frac{3 \pi}{2}$ (рис.б), выполняется неравенство $x_{5} < x_{6}$ ($x_{5} = - OM_{5}^{ \prime}$ и $x_{6} = - {OM}_{6}^{ \prime}$), следовательно, $\cos \alpha_{5} < \cos \alpha_{6}$. При возрастании угла $\alpha$ от $\pi$ до $\frac{ 3 \pi}{2} \cos \alpha$ монотонно возрастает от -1 до 0.
4) $\frac{3 \pi}{2} \leq \alpha \leq 2 \pi$ (четвертая четверть). При возрастании угла $\alpha$ ($\alpha_{5} > \alpha_{7}$) от $\frac{ 3 \pi }{2}$ до $2\pi \cos \alpha$ монотонно возрастает ($x_{8} > x_{7}$, где $x_{8} = {OM}_{8}^{\prime}$ и $x_{7} = OM_{7}^{\prime}$) от 0 до 1 (рис.б).
Вывод. При любом угле $\alpha$ абсолютная величина $\cos \alpha$ не превосходит 1, что записывается так:
$|\cos \alpha | \leq 1$ (5)
или в равносильной форме:
$-1 \leq \cos \alpha \leq 1$. (6)
III. $tg \alpha$. Тангенс угла $\alpha$ численно равен ординате соответствующей точки оси тангенсов.
1) $0 \leq \alpha < \frac{ \pi}{2}$ (первая четверть). Для углов $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$, удовлетворяющих неравенствам $0 \leq \alpha_{1} < \alpha_{2} \leq \frac{ \pi}{2}$ (рис.), выполняется неравенство $y_{2} > y_{1}$ ($y_{1} = AM_{1}$ и $y_{2} = AM_{2}$), следовательно, $tg \alpha_{2} > tg \alpha_{1}$. При возрастании угла $\alpha$ от 0 до $\frac{ \pi}{2} tg \alpha$ неограниченно возрастает. Заметим, что $tg \frac{ \pi}{2}$ не существует. Если угол $\alpha$ приближается к $\frac{ \pi}{2}$, оставаясь меньше $\frac{ \pi}{2}$, то $tg \alpha$ неограниченно возрастает ($tg \alpha$ стремится к плюс бесконечности).
Сходное положение встречалось при изучении функции $y = \frac{1}{x}$; если $x$ приближается к нулю, оставаясь больше нуля, то $y = \frac{1}{x}$ стремится к плюс бесконечности.
Это же условно записывают так:
$tg \alpha \rightarrow + \infty$ при $\alpha \rightarrow + \frac{ \pi}{2}$, где $\alpha < \frac{ \pi}{2}$.
2) $\frac{ \pi}{2} < tg \alpha \rightarrow + \infty \leq \pi$ (вторая четверть). Для углов $a_{1}$ и $a_{2}$, удовлетворяющих неравенствам $\frac{ \pi}{2} < \alpha_{1} < \alpha_{2} \leq \pi$ (рис.), выполняется неравенство $y_{2} > y_{1}$ ($y_{1} = - | AM_{1}|$ и $y_{2} = - |AM_{2}|$), следовательно, $tg \alpha_{2} > tg \alpha_{1}$. При возрастании угла $\alpha$ от $\frac{ \pi}{2}$ до $\pi tg \alpha$ возрастает до нуля.
Если $\alpha$ стремится к $\frac{ \pi}{2}$, оставаясь больше $\frac{ \pi}{2}$, то $tg \alpha$ неограниченно возрастает по абсолютной величине, оставаясь отрицательным ($tg \alpha$ стремится к минус бесконечности). Это записывается так:
$tg \alpha \rightarrow - \infty$ при $\alpha \rightarrow \frac{ \pi}{2}$, где $\alpha > \frac{ \pi}{2}$.
3) $\pi \leq \alpha < \frac{3 \pi}{2}$ (третья четверть). Тангенс ведет себя так же, как и в первой четверти, т. е. возрастает от 0 до $+ \infty$. Рекомендуем сделать соответствующий рисунок.
Если $\alpha$ стремится к $\frac{3 \pi}{2}$, оставаясь меньше $\frac{ 3 \pi}{2}$, то $tg \alpha$ стремится к плюс бесконечности:
$tg \alpha \rightarrow + \infty$ при $\alpha \rightarrow \frac{ 3 \pi}{2}$, $\alpha < \frac{3 \pi}{2}$.
4) $\frac{3 \pi}{2} < \alpha \leq 2 \pi$ (четвертая четверть). Тангенс ведет себя так же, как и во второй четверти, т. е. возрастает от $- \infty$ до 0. Рекомендуем читателю сделать соответствующий рисунок.
Если $\alpha$ стремится к $\frac{ 3 \pi}{2}$, оставаясь больше $\frac{3 \pi}{2}$, то $tg \alpha$ стремится к минус бесконечности:
$tg \alpha \rightarrow - \infty$ при $\alpha \rightarrow \frac{3 \pi}{2}, \alpha > \frac{3 \pi}{2}$.
IV. $ctg \alpha$. Котангенс угла $\alpha$ численно равен абсциссе соответствующей точки оси котангенсов.
1) $0 < \alpha \leq \frac{ \pi}{2}$ (первая четверть). Для углов $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$, удовлетворяющих неравенствам $0 < \alpha_{1} < \alpha_{2} \leq \frac{ \pi}{2}$ (рис.), выполняется неравенство $x_{2} < x_{1}$ ($x_{1} = BM_{1}$ и $x_{2} = BM_{2}$), следовательно, $ctg \alpha_{2} < ctg \alpha_{1}$. При возрастании угла $\alpha$ от 0 до $\frac{ \pi }{2} ctg \alpha$ убывает до нуля. Если $\alpha$ стремится к нулю, оставаясь больше нуля, то $ctg \alpha$ стремится к плюс бесконечности:
$ctg \alpha \rightarrow + \infty$ при $\alpha \rightarrow 0$, где $\alpha > 0$.
2)$\frac{ \pi}{2} \leq \alpha < \pi$ (вторая четверть). Для углов $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$, удовлетворяющих неравенствам $\frac{ \pi}{2} \leq \alpha_{1} < \alpha_{2} < \pi$ (рис.), выполняется неравенство $x_{2} < x_{1}$ ($x_{1} = - |BM_{1}|$ и $x_{2} = - |BM_{2}|)$, следовательно, $ctg \alpha_{2} < ctg \alpha_{1}$. При возрастании угла $\alpha$ от $\frac{ \pi}{2}$ до $\pi ctg \alpha$ убывает от 0 до $- \infty$. Если $\alpha$ стремится к $\pi$, оставаясь меньше $\pi$, то $ctg \alpha$ стремится к минус бесконечности:
$ctg \alpha \rightarrow - \infty$ при $\alpha \rightarrow \pi, \alpha < \pi$.
Разбор поведения $ctg \alpha$ в остальных четвертях предоставляется читателю. Приведем только окончательные результаты:
3) $\pi < \alpha < \frac{ 3 \pi}{2}$ (третья четверть), $ctg \alpha$ убывает от $+ \infty$ до 0; при $\alpha \rightarrow \pi$, где $\alpha > \pi, ctg \alpha \rightarrow + \infty$.
4) $\frac{3 \pi}{2} \leq \alpha < 2 \pi$ (четвертая четверть). $ctg \alpha$ убывает от 0 до $- \infty$; при $\alpha \rightarrow 2 \pi$, где $\alpha < 2 \pi, ctg \alpha \rightarrow - \infty$.