Не все действия, рассматриваемые в алгебре, выполнимы в поле рациональных чисел. Примером может служить операция извлечения квадратного корня. Так, если равенство $x^{2} = 4$ выполняется при значениях $x = 2, x = - 2$, то равенство $x^{2} = 2$ не имеет места ни при каком рациональном значении $x$. Докажем это. Сначала заметим, что целое $x$ не может иметь квадрата, равного 2: при $x = 1$ имеем $x^{2} = 1$, а при $x >1 \: x^{2}$ заведомо больше 2. Предположим теперь, что $x$ дробное: $x = p/q$ (дробь считается несократимой) и $(p/q)^{2} = 2$.

Отсюда имеем $p^{2} = 2q^{2}; p$ должно быть четным числом (иначе квадрат $p$ не был бы четным). Положим $p = 2k, p^{2} = 4k^{2}$. Теперь $4k^{2} = 2q^{2}, q^{2} = 2k^{2}$; получается, что и $q$ - четное, что противоречит допущению о несократимости дроби $p/q$.

Это показывает, что в области рациональных чисел из числа 2 нельзя извлечь квадратный корень, символ $\sqrt{2}$ не имеет смысла в области рациональных чисел. Между тем задача: «найти сторону $x$ квадрата, зная, что площадь его равна $S$» - столь же естественна при $S = 2$, как и при $S = 4$. Выход из этого и других подобных затруднений состоит в дальнейшем расширении понятия числа, во введении нового вида чисел - иррациональных чисел.

Покажем, как вводятся иррациональные числа на примере задачи извлечения квадратного корня из числа 2; для простоты ограничимся положительным значением корня.

Для каждого положительного рационального числа $x$ будет иметь место одно из неравенств $x^{2} < 2$ или $x^{2} > 2$. Очевидно, что $1^{2} < 2, 2^{2} > 2$. Рассматриваем затем числа $1,0; 1,1; 1,2; \cdots , 1,9; 2,0$ и находим два соседних среди них с тем свойством, что первое имеет квадрат, меньший двух, а второе - больший двух. Именно, $1,4^{2} < 2$ и $1,5^{2} > 2$. Аналогично, продолжая этот процесс, получим ряд неравенств (для получения десятичных дробей, написанных здесь, можно также использовать известный алгоритм приближенного извлечения квадратного корня):
$1^{2}<2<2^{2},$
$1,4^{2} < 2 < 1,5^{2}$,
$1,41^{2} <2< 1,42^{2}$,
$1,414^{2}<2<1,415^{2}$,
$1,4142^{2}<2< 1,4143^{2}$,
$1,41421^{2}<2<1,41422^{2}$,
$1,414213^{2} < 2 < 1,414214^{2}$,
$1,4142135^{2}<2< 1,4142136^{2}$,
Сопоставляя сначала целые части, а затем первые, вторые, третьи и т. д. цифры после запятой у рациональных чисел, между квадратами которых лежит 2, мы можем последовательно выписать эти десятичные знаки:
$1,4142135 \cdots$ (1)
Процесс отыскания пар рациональных чисел (выраженных конечными десятичными дробями), отличающихся друг от друга на $\frac{1}{10^{m}}$, со все большим $m$ может быть продолжен неограниченно. Поэтому можно рассматривать дробь (1) как бесконечную десятичную дробь (непериодическую, так как в случае периодичности она представляла бы рациональное число). Эта бесконечная непериодическая дробь, любое число десятичных знаков которой мы можем выписать, но для которой нельзя осуществить записи одновременно всех знаков, и принимается за число, равное $\sqrt{2}$ (т. е. за число, квадрат которого равен 2).

Отрицательное значение корня квадратного из двух мы представим в виде
$- \sqrt{2} = -1,4142135 \cdots$v или, пользуясь искусственной формой записи чисел, в виде
$- \sqrt{2} = \overline{2},5857864 \cdots$

$a < \alpha < a+1$,
$a,a_{1} < \alpha < a,a_{1}a_{2} + \frac{1}{10}$,
$a,a_{1}a_{2} < \alpha < a,a_{1}a_{2} + \frac{1}{100}$
$\cdots$
Например, для $\alpha = \sqrt{2}$ запишем
$1 < \sqrt{2} < 2$,
$1,4 < \sqrt{2} < 1,5$,
$1,41 < \sqrt{2} < 1,42$
и т. д. Здесь, например, 1,41 - десятичное приближение $\sqrt{2}$ с точностью до 0,01 по недостатку, а 1,42 - по избытку.

Запись неравенств между иррациональным числом и его десятичными приближениями входит в самое определение понятия иррационального числа и может быть положена в основу определения соотношений «больше» и «меньше» для иррациональных чисел.

Возможность представления иррациональных чисел их все более и более точными десятичными приближениями лежит также в основе определения арифметических действий над иррациональными числами, которые фактически производятся над их иррациональными приближениями по недостатку или по избытку.

К иррациональным числам приводят многие действия, как, например, действие извлечения корня степени $n$ из рационального числа (если оно не представляет собой $n$-ю степень другого рационального числа), логарифмирование и т. д. Иррациональным является число $\pi$, равное отношению длины окружности к ее диаметру.

Всякое отличное от нуля действительное число либо положительно, либо отрицательно.

Таким образом, модуль неотрицательного числа равен самому этому числу (верхняя строка равенства); модуль отрицательного числа равен этому числу, взятому с противоположным знаком (нижняя строка). Так, например,
$|+ 8|=+8 = 8, |0| == 0, |-6| = -(-6) = +6 = 6$.
Из определения модуля следует, что модуль любого числа есть число неотрицательное; если модуль числа равен нулю, то и само число равно нулю, в остальных случаях модуль положителен.

Действительные числа образуют числовое поле - поле действительных чисел: результат рациональных действий над действительными числами снова выражается действительным числом. Заметим, что взятые в отдельности иррациональные числа не образуют ни поля, ни даже кольца: например, сумма двух иррациональных чисел $\sqrt{2}$ и $3- \sqrt{2}$ равна рациональному числу 3.

Основными свойствами являются:
1) Действительные числа образуют поле.
2) Действия над действительными числами подчинены обычным законам (например, сложение и умножение - законам коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности, ).
3) Для любых двух действительных чисел $a$ и $b$ имеет место одно и только одно из трех соотношений: $a$ больше $b (a > b), a$ меньше $b (a < b), a$ равно $b (a = b)$. Говорят поэтому, что множество действительных чисел упорядочено.
4) Принято говорить, что множество действительных чисел обладает свойством непрерывности. Именно это свойство существенно отличает поле действительных чисел от поля рациональных чисел.