Квадратным трехчленом мы назвали целую рациональную функцию второй степени:
$y = ax^2 + bx + c$, (1)
где $a \neq 0$. Докажем, что графиком квадратного трехчлена является парабола, получаемая параллельными сдвигами (в на правлениях координатных осей) из параболы $y = ax^2$. Для этого приведем выражение (1) путем простых тождественных преобразований к виду
$y = a(x + \alpha)^2 + \beta$. (2)
Соответствующие преобразования, записанные ниже, известны как «выделение точного квадрата»:
$y = x^2 + bx + c = a \left (x^2 + \frac{b}{a} x \right ) + c = a \left ( x^2 + \frac{b}{a} x + \frac {b^2}{4a^2} \right ) - \frac {b^2}{4a} + c = a \left ( x + \frac{b}{2a} \right )^2 - \frac {b^2 - 4ac}{4a}$. (2')
Мы привели квадратный трехчлен к виду (2); при этом
$\alpha = \frac{b}{2a}, \beta = - \frac {b^2 - 4ac}{4a}$
(эти выражения не следует запоминать, удобней всякий раз выполнять преобразование трехчлена (1) к виду (2) непосредственно).
Теперь видно, что график трехчлена (1) - парабола, равная параболе $y = ax^2$ и получаемая сдвигами параболы $y = ax^2$ в направлениях осей координат на $\alpha$ и $\beta$ (с учетом знака $\alpha$ и $\beta$) соответственно. Вершина этой параболы помещается в точке $(- \alpha, \beta)$, ее осью служит прямая $x = - \alpha$. При $a > 0$ вершина - наинизшая точка параболы, при $a < 0$ - наивысшая.
Проведем теперь исследование квадратного трехчлена, т. е. выясним его свойства в зависимости от числовых значений коэффициентов $a, b, с$ в его выражении (1).
Обозначим в равенстве (2') величину $b^2- 4ac$ через $d$:
$y = a \left ( x + \frac{b}{2a} \right )^2 - \frac{d}{4a}$; (4)
$d = b^2 - 4ac$ называется дискриминантом квадратного трехчлена. Свойства трехчлена (1) (и расположение его графика) определяются знаками дискриминанта $d$ и старшего коэффициента $a$.
1) $a > 0, d < 0$. Вершина графика. $O^{ \prime} \left ( - \frac{b}{2a}, - \frac{d}{4a} \right )$ лежит выше оси $Ox$, поскольку $- \frac{d}{4a} > 0$; так как $a > 0$, то график расположен выше вершины $O^{ \prime}$; он лежит в верхней полуплоскости ($y > 0$ - рис а.).
2) $a < 0, d < 0$. Вершина $O^{ \prime} \left (- \frac{b}{2a}, - \frac{d}{4a} \right )$ лежит ниже оси $Ox$ и является наивысшей точкой графика. Парабола расположена в нижней полуплоскости ($y < 0$; рис. б).
3) $a > 0, d > 0$. Вершина $O^{ \prime}$ лежит ниже оси $Ox$, парабола пересекает ось $Ox$ в двух точках $x_1, x_2$ (рис в.).
4) $a < 0, d > 0$. Вершина $O^{ \prime}$ лежит выше оси $Ox$, парабола снова пересекает ось $Ox$ в двух точках $x_1, x_2$ (рис. г).
5) $a > 0, d = 0$. Вершина лежит на самой оси $Ox$, парабола расположена в верхней полуплоскости (рис. д).
6) $a < 0, d = 0$. Вершина снова лежит на оси $Ox$, но парабола расположена в нижней полуплоскости (рис. е).
Выводы. Если $d < 0$, то график функции весь лежит либо выше (при $a > 0$), либо ниже (при $a < 0$) оси абсцисс. Функция $y = aх^2 + bx + с$ с $d < 0$ знакопостоянна. Если $d = 0$, то положение отличается лишь тем, что вершина параболы лежит на оси $Ox$ (функция знакопостоянна, но в одной точке обращается в нуль).
Если $d > 0$, то функция знакопеременная (график частью лежит ниже, частью выше оси $Ox$). Квадратный трехчлен с $d > 0$ имеет два корня (нуля) $x_1, x_2$. При $a > 0$ он отрицателен в интервале между корнями (рис. в) и положителен вне этого интервала. При $a < 0$ он положителен в интервале между корнями (рис. г) и отрицателен вне этого интервала.