Для графического представления функции $y = f(x)$ используем декартову прямоугольную систему координат (рис.). Каждой точке $x$ оси $Ox$ из области определения функции $f(x)$ отвечает значение $y = f(x)$ и, вместе с тем, точка плоскости с координатами $(x, f(x))$; при изменении $x$ эти точки образуют график функции. Точное определение таково: Для графика функции $y = f(x)$, изображенного на рис., показаны точки с абсциссами $x, x_{0}, x_{1}$; их ординаты соответственно равны $y, y_{0}, 0$. График показан на интервале $[a, b)$; то, что точка $x = b$ исключена, условно показано стрелкой в правом конце кривой линии — графика функции $y = f(x)$.

График функции дает удобное и наглядное представление о ее свойствах, и ниже уделено много внимания методам построения графиков функций.

Определение функции не дает указания на то, в какой форме задан закон соответствия между значениями аргумента и зависимой переменной; практически привычной формой задания этого закона является для нас запись функциональной зависимости в виде некоторой математической формулы, например:

$y = 4x^{3}; y = \sqrt{9 – x^{2}}; y = \sin^{2} x; y = \frac{lg (x+1)}{x-2}$.

В этом случае говорят, что функция задана аналитическим выражением. При этом термин «аналитическое выражение» имеет приблизительно тот же смысл, что и «алгебраическое выражение», с той разницей, что при записи аналитического выражения не ограничиваются только алгебраическими действиями (т. е. рациональными действиями и операцией извлечения корня), но пользуются, например, такими действиями, как логарифмирование, отыскание синуса или тангенса данного значения аргумента и т. п. Вообще, при определении новой математической операции для нее вводится специальный символ, который в дальнейшем уже можно использовать для записи аналитического выражения.

Для функции, заданной аналитическим выражением, область определения может состоять только из значений $x$, входящих в о.д.з. этого выражения. Область определения функции оказывается в этом случае частью области допустимых значений аналитического выражения, задающего функцию, или совпадает с этой областью. Например, площадь $S$ круга, как функция радиуса $R$, задается выражением $S = \pi R^{2}$. Область определения этой функции по смыслу дела есть $0 < R < \infty$; взятое же само по себе аналитическое выражение $\pi R^{2}$ определено при всех значениях R. Если функция задана аналитическим выражением относительно аргумента х и область определения не указана, то подразумевают, что область определения совпадает с о. д. з. задающего ее выражения.

Иногда функция задается разными аналитическими выражениями в разных частях области определения. Самый простой пример: будем рассматривать $|x|$ как функцию от $x$. Тогда

$|x| = \begin{cases} x, & \text{при} x \geq 0, \\ -x & \text{при} x < 0. \end{cases}$f х при х>0,

Можно записать $|x|$ и в виде $|x| = \sqrt{x^{2}}$. Вообще, одна и та же функция может быть задана различными способами и в разных видах.

Кроме аналитического способа задания применяют графическое и табличное задание функций. Если функция задана графиком, то можно по чертежу находить значения у, отвечающие данным значениям х, разумеется, приближенно.

Табличный способ задания функции заключается в том, что для избранных значений аргумента $x$, обычно отстоящих друг от друга на некоторую постоянную величину—шаг таблицы, указываются соответствующие значения $y$ (с определенной степенью точности). Небольшой фрагмент таблицы может выглядеть так:

x	y
0,10	34,21
0,12	36,43
0,14	39,52
0,16	43,37
0,18	48,14
0,20	54,62

В данном примере шаг таблицы равен 0,02.

Графическое и табличное задание функций часто возникает в результате проведения измерений, опытов, применения самопишущих приборов.

В восемнадцатом и в начале девятнадцатого века математики представляли себе функцию только с точки зрения ее аналитического выражения. Лишь в первой половине девятнадцатого столетия некоторыми математиками, в том числе великим русским ученым Н. И. Лобачевским, было сформулировано современное определение функции: существенным является наличие закона соответствия, а не возможность представить его «формулой». В частности, допускается и словесное описание закона соответствия: например, $f(x) = |x|$ — целая часть $x$ определяется как «наибольшее целое число, не превосходящее $x$».