Так же как построение графика квадратного трехчлена полностью сводится к построению графика квадратичной функции $у = aх^2$, исследование дробно-линейной функции

$y = \frac {ax+b}{cx+d} (c \neq 0, ad - bc \neq 0)$ (1)

и построение ее графика сводятся к построению графика обратной пропорциональности (равнобочной гиперболы). Именно докажем, что график функции (1) получается параллельным сдвигом графика функции $y = \frac{k}{x}$ вдоль осей $Ox$ и $Oy$. Для этого приведем тождественными преобразованиями выражение (1) к виду

$y = \frac{k}{x + \alpha} + \beta$. (2)

Рассмотрим два случая: $a \neq 0$ и $a = 0$.
1) Пусть $a \neq 0$. Тогда

$y = \frac {ax + b}{cx + d} = \frac{a}{c} \frac {x + \frac{b}{a}}{x + \frac{d}{c}} = \frac{a}{c} \frac { \left ( x + \frac{d}{c} \right ) + \frac{b}{a} - \frac{d}{c} }{x + \frac{d}{c} } = \frac{a}{c} = \frac {\frac {bc - ad}{c^2}}{x + \frac{d}{c}}$

т. е. мы привели выражение $у$ к виду (2) при

$\alpha = \frac{d}{c}, \beta = \frac{a}{c}, k = \frac{bc - ad}{c^{2} } $

2) Если $а = 0$, то преобразование проводится еще проще:

$y = \frac {b}{cx + d} = \frac { \frac{b}{c} }{x + \frac{d}{c} } = \frac {k}{x + \alpha}$.

Замечание. Условие $ad - bc \neq 0$ (1) имеет простой смысл: если $ad - bc = 0$, то числитель и знаменатель в записи формулы (1), задающей функцию, пропорциональны и при всех значениях $x \neq - \frac{d}{c}$ функция сводится к постоянной: $y = \frac{a}{c}$. Этот случай естественно исключить.