приведенные тригонометрические функции
Формулами приведения называются формулы, выражающие тригонометрические функции углов $- \alpha, \frac{ \pi}{2} \pm \alpha, \pi \pm \alpha, \frac{ 3 \pi}{2} \pm \alpha, 2 \pi \pm \alpha$ через тригонометрические функции угла $\alpha$, где $\alpha$ - произвольный (допустимый) угол. Сами тригонометрические функции этих углов будем называть приводимыми тригонометрическими функциями.
Будем говорить для краткости, что углы $- \alpha, \pi \pm \alpha, 2 \pi \pm \alpha$ образованы откладыванием угла $\alpha$ от оси $Ox$ (от горизонтальной оси), а углы $\frac{ \pi}{2} \pm \alpha$ и $\frac{3 \pi }{2} \pm \alpha$ образованы откладыванием угла $\alpha$ от оси $Oy$ (от вертикальной оси).
Пользуясь возможностью произвольного выбора угла $\alpha$ в формулах (1) - (4) раздела "Зависимость между тригонометрическими функциями дополнительных углов", получим новые важные формулы (мы ограничимся функциями $\sin \alpha, \cos \alpha, tg \alpha$ и $ctg \alpha$).
а) Заменив в формулах (1) - (4) $\alpha$ на $- \alpha$, получим
$\begin{cases} \sin \left ( \frac{ \pi }{2} + \alpha \right ) = \cos ( - \alpha) = \cos \alpha \\ \cos \left ( \frac{ \pi}{2} + \alpha \right ) = \sin (-\alpha) = - \sin \alpha \\ tg \left ( \frac{ \pi}{2} + \alpha \right ) = ctg ( - \alpha) = - ctg \alpha \\ ctg \left ( \frac{ \pi}{2} + \alpha \right ) = tg ( - \alpha) = - tg \alpha \end{cases}$. (1)
б) Заменив в формулах (1) $\alpha$ на $\frac{ \pi}{2} + \alpha$, а следовательно, $\frac{ \pi}{2} + \alpha$ на $\pi + \alpha$, получим
$\begin{cases} \sin (\pi + \alpha) = \sin \left [ \frac{ \pi}{2} + \left ( \frac{ \pi}{2} + \alpha \right ) \right ] = \cos \left ( \frac{ \pi}{2} + \alpha \right ) = - \sin \alpha \\ \cos (\pi + \alpha) = \cos \left [ \frac{ \pi}{2} + \left ( \frac{ \pi}{2} + \alpha \right ) \right ] = - \sin \left ( \frac{ \pi}{2} + \alpha \right ) = - \cos \alpha \end{cases}$ (2)
(мы снова воспользовались тем, что формулы (1) справедливы для произвольного угла $\alpha$). Так как $\pi$ является основным периодом для $tg \alpha$ и $ctg \alpha$, то
$\begin{cases} tg ( \pi + \alpha) = tg \alpha \\ ctg ( \pi + \alpha) = ctg \alpha \end{cases}$. (3)
в) Аналогично получим
$\begin{cases} \sin \left ( \frac{3}{2} \pi + \alpha \right ) = \sin \left [ \frac{ \pi}{2} + (\pi + \alpha) \right ] = \cos ( \pi + \alpha)] = - \cos \alpha \\ \cos \left ( \frac{3}{2} \pi + \alpha \right ) = \cos \left [ \frac{ \pi}{2} + ( \pi + \alpha) \right ] = - \sin (\pi + \alpha) = \sin \alpha \end{cases}$. (4)
Рекомендуем доказать, что
$\begin{cases} tg \left ( \frac{ 3 \pi}{2} + \alpha \right ) = - ctg \alpha \\ ctg \left ( \frac{ 3 \pi}{2} + \alpha \right ) = - tg \alpha \end{cases}$. (5)
г) Заменив в формулах (2) и (3) $\alpha$ на $- \alpha$, получим
$\begin{cases} \sin (\pi - \alpha) = \sin \alpha, tg ( \pi - \alpha) = - tg \alpha \\ \cos ( \pi - \alpha) = - \cos \alpha, ctg ( \pi - \alpha) = - ctg \alpha \end{cases}$ (6).
д) Заменив в формулах (4) и (5) $\alpha$ на $- \alpha$, получим
$\begin{cases} \sin \left ( \frac{ 3 \pi}{2} - \alpha \right ) = - \cos \alpha, tg \left ( \frac{3 \pi}{2} - \alpha \right ) = ctg \alpha \\ \cos \left ( \frac{3 \pi}{2} - \alpha \right ) = - \sin \alpha, ctg \left ( \frac{ 3 \pi}{2} - \alpha \right ) = tg \alpha \end{cases}$ (7).
е) В силу того, что $2 \pi$ является периодом для всех основных тригонометрических функций, будем иметь
$\begin{cases} \sin ( 2 \pi - \alpha) = \sin (- \alpha) = - \sin \alpha \\ \cos ( 2 \pi - \alpha) = \cos (- \alpha) = \cos \alpha \\ tg ( 2 \pi - \alpha) = tg (- \alpha) = tg \alpha \\ ctg ( 2 \pi - \alpha) = ctg ( - \alpha) = - ctg \alpha \end{cases}$. (8)
ж) Аналогично е), будем иметь
$\begin{cases} \sin ( 2 \pi + \alpha) = \sin \alpha, tg (2 \pi + \alpha) = tg \alpha \\ \cos (2 \pi + \alpha) = \cos \alpha, ctg (2 \pi + \alpha) = ctg \alpha \end{cases}$. (9)
Пример 1. Пользуясь формулами приведения, найти значения следующих тригонометрических функций (или выразить их через значения тригонометрических функций острых углов): а) $\sin \frac{2 \pi }{3}$; б) $\cos 91^{ \circ} 10^{ \prime} 52^{ \prime}$; в) $ctg 182^{ \circ} 12^{ \prime} 46^{ \prime \prime}$.
Решение. а) $\sin \frac{2 \pi}{3} = \sin \left ( \frac{ \pi }{2} + \frac{ \pi}{6} \right ) = \cos \frac{ \pi}{6} = \frac{ \sqrt{3}}{2}$;
б) $\cos 91^{ \circ} 10^{ \prime} 52^{ \prime \prime } = \cos (90^{ \circ} + 1^{ \circ} 10^{ \prime} 52^{ \prime \prime } ) = - \sin 1^{ \circ} 10^{ \prime} 52^{ \prime \prime}$;
в) $ctg 182^{ \circ} 12^{ \prime} 4б^{ \prime \prime } = ctg (180^{ \circ} + 2^{ \circ} 12^{ \prime} 46^{ \prime \prime} ) = ctg 2^{ \circ} 12^{ \prime} 46^{ \prime \prime}$.
Пример 2. Найти $tg \left ( \frac{3 \pi}{2} - \alpha \right )$, если $tg \alpha = 0,9$.
Решение. $tg \left ( \frac{З \pi}{2} - \alpha \right ) = ctg \alpha = \frac{1}{ tg \alpha} = \frac{10}{9}$.
Сформулируем теперь общее правило приведения:
1) если угол $\alpha$ откладывается от вертикальной оси (углы $\frac{ \pi }{2} \pm \alpha, \frac{3 \pi}{2} \pm \alpha$), то название приводимой функции меняется на сходное; если же угол $\alpha$ откладывается от горизонтальной оси (углы $- \alpha, \pi \pm \alpha, 2 \pi \pm \alpha$), то название приводимой функции сохраняется;
2) если приводимая функция имеет отрицательное значение, то нужно соответствующую функцию угла а взять со знаком минус-, если же приводимая функция имеет неотрицательное значение, то нужно соответствующую функцию угла а взять со знаком плюс.
Проиллюстрируем это правило на примере угла $\beta = \pi + \alpha$. Заметим еще раз, что правило приведения справедливо для любого угла $\alpha$, но для простоты запоминания и иллюстрации этого правила мы считаем а острым положительным углом.
Итак, на рис. угол $\beta = \pi + \alpha = \angle AOE$. Требуется выразить тригонометрические функции угла $\pi + \alpha$ через тригонометрические функции острого положительного угла $\alpha$. Заметим, что угол $\alpha = \angle BOE = \angle AOE_{1}$. Согласно правилу приведения нужно выяснить:
1) соответствующие названия тригонометрических функций;
2) знаки приводимых тригонометрических функций.
1) Так как угол $\alpha$ откладывается от горизонтальной оси (угол $\beta$ имеет вид $\pi + \alpha$), то названия приводимых функций сохраняются.
2) $\sin \beta < 0, \cos \beta < 0$.
Учитывая 1) и 2), имеем
$\sin \beta = \sin ( \pi + \alpha ) = - \sin \alpha$,
$\sin \beta = \cos ( \pi + \alpha ) = - \cos \alpha$;
так как $tg \beta > 0$ и $ctg \beta > 0$, то
$tg \beta = tg ( \pi + \alpha ) = tg \alpha$,
$ctg \beta = ctg ( \pi + \alpha ) = ctg \alpha$.
Мы пришли к формулам (2) и (3).
Объединим полученные для формул приведения результаты в следующую таблицу.
Для произвольного угла $\beta = \beta_{n} = 360^{ \circ} n + \alpha$, где $0^{ \circ} \leq \alpha < 360^{ \circ}$, или $\beta = \beta_{n} = 2 \pi n + \alpha$, где $0 \leq \alpha < 2 \pi; n = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots$, если угол дан в радианах, задача отыскания $\sin \beta, \cos \beta, tg \beta , ctg \beta$ сводится к отысканию тригонометрических функций угла $\alpha$.
Пример 3. Дан угол $\beta = \frac{13 \pi}{3}$. Найти $\sin \beta, \cos \beta, tg \beta$ и $ctg \beta$.
Решение. Представим данный угол в виде $\beta = \beta_{2} = 2 \cdot 2 \pi + \frac{ \pi}{3}$. П
$\sin \frac{13 \pi}{3} = \sin \left ( 2 \cdot 2 \pi + \frac{ \pi }{3} \right ) = \sin \frac{ \pi }{3} = \frac{ \sqrt{3} }{2}$,
$\cos \frac{13 \pi}{3} = \cos \left ( 2 \cdot 2 \pi + \frac{ \pi }{3} \right ) = \cos \frac{ \pi }{3} = \frac{1}{2}$,
$tg \frac{13 \pi }{3} = tg \left ( 4 \pi + \frac{ \pi }{3} \right ) = tg \frac{ \pi }{3} = \sqrt{3}$,
$ctg \frac{13 \pi }{3} = ctg \left ( 4 \pi + \frac{ \pi }{3} \right ) = ctg \frac{ \pi }{3} = \frac{1}{ \sqrt{3}}$.
Заметим, что тангенс и котангенс можно было бы вычислить и так:
$tg \frac{13 \pi}{3} = \frac{ \sin \frac{13 \pi }{3} }{ \cos \frac{13 \pi }{3} } = \frac{ \frac{ \sqrt{3} }{2} }{ \frac{1}{2} } = \sqrt{3}$,
$ctg \frac{13 \pi }{3} = \frac{1}{ tg \frac{13 \pi }{3} } = \frac{1}{ \sqrt{3} }$.
Пример 4. Найти $\sin \beta, \cos \beta, tg \beta$ и $ctg \beta$, если $\beta = - 1050^{ \circ}$.
Решение. Представим данный угол в виде
$\beta = \beta_{-3} = 360^{ \circ} (-3) + 30^{ \circ}$.
Получим
$\sin (-1050^{ \circ} ) = \sin [360^{ \circ} \cdot (-3) + 30^{ \circ} ] = \sin 30^{ \circ} = \frac{1}{2}$,
$\cos ( - 1050^{ \circ} ) = \cos [360^{ \circ} \cdot (-3) + 30^{ \circ} ] = \cos 30^{ \circ} = \frac{ \sqrt{3} }{2}$,
Тангенс и котангенс найдем следующим образом:
$tg (-1050^{ \circ} ) = \frac{ \sin (-1050^{ \circ} ) }{ \cos(-1050^{ \circ} ) } = \frac{ \frac{1}{2}}{ \frac{ \sqrt{3} }{2} } = \frac{1}{ \sqrt{3} }$,
$ctg (-1050^{ \circ} ) = \frac{ \cos (-1050^{ \circ} ) }{ \sin (-1050^{ \circ} ) } = \frac{ \frac{ \sqrt{3} }{2}}{ \frac{ 1 }{2} } = \sqrt{3}$.
Пример 5. Имеем угол $\beta = - 960^{ \circ}$. Найти $\sin \beta, \cos \beta , tg \beta$ и $ctg \beta$.
Решение. Представим данный угол в виде $\beta = \beta_{-3} = 360^{ \circ } \cdot (-3) + 120^{ \circ}$. Получим
$\sin (-960^{ \circ} ) = \sin [360^{ \circ} \cdot (-3) + 120^[ \circ ] = \sin 120^{ \circ} = \sin (90^{ \circ} + 30^{ \circ} ) = \cos 30^{ \circ} = \frac{ \sqrt{3}}{2}$,
$\cos (-960^{ \circ} ) = \cos [360^{ \circ} \cdot (-3) + 120^[ \circ ] = \cos 120^{ \circ} = \cos (90^{ \circ} + 30^{ \circ} ) = - \sin 30^{ \circ} = - \frac{1}{2}$,
$tg (-960^{ \circ} ) = \frac{ \sin (-960^{ \circ} ) }{ \cos (-960^{ \circ} ) } = \frac{ \frac{ \sqrt{3} }{2} }{ - \frac{1}{2} } = - \sqrt{3}$,
$ctg (-960^{ \circ} ) = \frac{ 1 }{ tg (-960^{ \circ} ) } = - \frac{1}{ \sqrt{3}}$.
Пример 6. Найти $tg \frac{21 \pi}{4}$.
Решение. $tg \frac{21 \pi}{4} = tg \left ( 5 \pi + \frac{ \pi }{4} \right ) = tg \frac{ \pi }{4} = 1$.
Пример 7. Найти $ctg 1020^{ \circ}$.
Решение. $ctg 1020^{ \circ} = ctg (180^{ \circ} \cdot 5 + 120^{ \circ} ) = ctg 120^{ \circ } = ctg (90^{ \circ} + 30^{ \circ} ) = - tg 30^{ \circ} = - \frac{1}{ \sqrt{3} }$.
Пример 8. Доказать тождество
$\frac{ \cos^{2} \left ( \frac{ \pi}{2} + \alpha \right )}{ sec^{2} ( \pi + \alpha ) - 1 } + \frac{ \cos^{2} (2 \pi - \alpha ) }{ cosec^{2} (2 \pi + \alpha ) - 1 } = 1$.
Решение. Применив формулы приведения, получим в левой части предполагаемого тождества $\frac{ \sin^{2} \alpha }{ sec^{2} \alpha - 1 } + \frac{ \cos^{2} \alpha }{ cosec^{2} \alpha - 1 } = A$. Далее, $A = \frac{ \sin^{2} \alpha }{ 1 - \cos^{2} \alpha } \cos^{2} \alpha + \frac{ \cos^{2} \alpha }{ 1 - \sin^{2} \alpha } \sin^{2} \alpha = \cos^{2} \alpha + \sin^{2} \alpha = 1$, т. е. левая часть равна 1. Мы пришли к верному равенству, что и доказывает наше тождество.