Выведем теперь формулу для суммы членов конечной арифметической прогрессии. Для прогрессии, имеющей $n$ членов, обозначим эту сумму через $S_{n}$. Запишем выражение суммы $S_{n}$ дважды, один раз расположив члены прогрессии по возрастанию их номеров, а другой раз - по убыванию:
$S_{n} = a_{1} + a_{2} + a_3 + \cdots + a_{n-2} + a_{n-1} + a_{n}$,
$S_{n} = a_{n} + a_{n-1} + a_{n-2} + \cdots + a_3 + a_{2} + a_{1}$.
Сложим эти два равенства:
$2S_{n} = (a_{1} + a_{n}) + (a_{2} + a_{n-1}) + (a_3 + a_{n-2}) + \cdots + (a_{n-2} + a_3) + (a_{n-1} + a_{2}) + (a_{n} + a_{1})$.
Всего в правой части имеется $n$ скобок. По свойству 2 из раздела "Свойства арифметической прогрессии" суммы, заключенные в этих скобках, все равны между собой и равны сумме, заключенной в первой скобке. Поэтому
$2 S_{n} = (a_{1} + a_{n}) n$,
откуда
$S_{n} = \frac {a_{1} + a_{n}}{2} n$. (1)
Если теперь мы вместо $a_{n}$ подставим в формулу (1) его выражение через $a_{1}$ и $d$, то после простых преобразований получим следующую вторую формулу для суммы членов арифметической прогрессии:
$S_{n} = \frac {2a_{1} + (n-1) d}{2} n$. (2)
Пример. Определить сумму $k$ первых нечетных чисел, начиная с единицы.
Решение. На $k$-м месте в последовательности нечетных чисел находится число $a_{k} = 2k - 1$. Последовательность нечетных чисел есть арифметическая прогрессия, у которой $a_{1} = 1, d = 2$. По формуле (1) находим
$S_{k} = \frac{1 + (2k - 1)}{2}k$,
откуда
$S_{k} = k^{2}$.
Так, например,
$1 = 1^{2}$,
$1 + 3 = 4 = 2^{2}$,
$1 + 3 = 5 = 9 = 3^{2}$,
$1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4^{2}$.