В предыдущих параграфах этой главы мы выяснили, как движутся тела, если на них действует одна сила - сила упругости, сила тяготения или сила трения. Но в действительности с такими движениями в земных условиях почти никогда не приходится иметь дело. Наряду с силами упругости и тяготения на тело всегда действует и сила трения. Как в таких случаях решать механические задачи?
Напомним прежде всего, что в уравнении, выражающем второй закон Ньютона,
$\vec{F} = m \vec{a}$,
$\vec{F}$ - это равнодействующая всех сил, приложенных к телу, т. е. геометрическая сумма векторов этих сил. Поэтому, приступая к решению какой-нибудь задачи, нужно сначала выяснить, какие силы действуют на тело, каковы их абсолютные значения и направления. Затем, изобразив на чертеже действующие на тело силы, найти их равнодействующую и, пользуясь законами движения Ньютона, решить задачу.
Но можно и не производить геометрического сложения векторов сил. В "Действия над векторами: сложение векторов" мы узнали, что проекция суммы нескольких векторов на какую-нибудь ось равна сумме проекций этих векторов на ту же ось. Это позволяет нам заменить геометрическое сложение векторов алгебраическим сложением их проекций.
рис. 1
В качестве примера рассмотрим движение тела по наклонной плоскости. Предположим, что по наклонной плоскости с углом наклона а движется брусок массой $m$ (рис. 1). Найдем его ускорение.
На движущийся брусок действуют три силы: сила тяжести $\vec{F}_{1} = m \vec{g}$; сила реакции опоры (наклонной плоскости) $\vec{F}_{2}$, перпендикулярная плоскости; сила трения $\vec{F}_{3}$, направленная против движения.
Ускорение бруска $\vec{a}$ по условию направлено параллельно наклонной плоскости.
По второму закону Ньютона
$m \vec{a} = \vec{F}_{1} + \vec{F}_{2} + \vec{F}_{3}$. (1)
Направим оси координат $X$ и $Y$ вдоль наклонной плоскости и перпендикулярно к ней, как показано на рисунке 141. Из равенства (1) следует, что проекция вектора $m \vec{a}$ на ось $X$ или $Y$ равна сумме проекций на эти оси векторов $\vec{F}_{1}, \vec{F}_{2}$ и $\vec{F}_{3}$.
Найдем вначале проекции всех векторов на ось $X$. Ускорение бруска направлено вдоль оси $X$, поэтому проекция вектора $\vec{a}$ равна его модулю $| \vec{a} |$. Проекция вектора $\vec{F}_{2}$ равна нулю. Вектор $\vec{F}_{3}$ параллелен оси $X$, но его направление противоположно направлению оси. Поэтому проекция вектора $\vec{F}_{3}$ на ось $X$ равна его модулю $| \vec{F}_{3}|$, но взятому со знаком «-».
Проекцию вектора $\vec{F}_{1}$ можно найти, воспользовавшись подобием треугольников $ABD$ и $EOC$ (оба они прямоугольные, и углы $ADB$ и $ECO$ равны, как углы, образованные взаимно перпендикулярными сторонами). Из подобия этих треугольников следует, что
$\frac{F_{1x}}{OE} = \frac{| \vec{F}_{1} |}{EC}$.
Но $OE = h$, а $EC = L$. Поэтому
$F_{1x} = | \vec{F}_{1} | \frac{h}{L} = mg \frac{h}{L}$.
Теперь, зная проекции всех векторов на ось $X$, мы можем записать:
$ma = mg \frac{h}{L} - | \vec{F}_{3} |$. (2)
Аналогичное уравнение можно записать и для проекций всех векторов на ось $Y$. Проекции векторов $\vec{a}$ и $\vec{F}_{3}$ равны нулю, проекция вектора $\vec{F}_{2}$ по модулю равна $| \vec{F}_{2} |$, а проекцию вектора $\vec{F}_{1}$ можно найти из подобия тех же треугольников $ABD$ и $EOC$:
$\frac{BD}{CO} = \frac{AD}{EC}$.
Но $BD = - F_{1y}$ (проекция силы $\vec{F}_{1}$ на ось $Y$ отрицательна), $AD = mg, OC = l$ и $CE = L$.
Следовательно, $- \frac{F_{1y} }{l} = \frac{mg}{L}$,
Отсюда $F_{1y} = - mg \frac{l}{L}$.
Так как проекция ускорения $\vec{a}$ бруска на ось $Y$ равна нулю, то равна нулю и сумма проекций на эту ось всех сил, действующих на брусок. Поэтому
$0 = - mg \frac{l}{L} + | \vec{F}_{2} |$. (3)
Рассмотрим вначале случай, когда тело движется без трения (коэффициент трения $\mu = 0$). В этом случае из уравнения (2) найдем, что
$a = g \frac{h}{L}$.
Отношение $\frac{h}{L}$ всегда меньше единицы (катет меньше гипотенузы). Значит, по наклонной плоскости тело движется с ускорением меньшим, чем ускорение $g$ свободного падения. Чем более полога плоскость, тем меньше отношение $\frac{h}{L}$ и тем меньше ускорение $a$.
Но часто силой трения пренебречь нельзя. Найдем поэтому выражение и для величины $| \vec{F}_{3} |$.
В "Сила трения скольжения" было показано, что сила трения пропорциональна модулю силы давления $\vec{N}$.
Поэтому можно написать, что
$| \vec{F}_{3} | = \mu | \vec{N} |$.
В нашем случае сила давления равна, но противоположна по направлению силе реакции опоры $\vec{F}_{2}$. Следовательно, модуль силы $\vec{N}$ равен просто модулю силы $\vec{F}_{2}$. Из формулы (3) следует, что
$| \vec{F}_{2} | = mg \frac{l}{L}$.
Отсюда для силы трения $| \vec{F}_{3} |$ получаем:
$| \vec{F}_{3} | = \mu mg \frac{l}{L}$.
Подставив значение $| \vec{F}_{3} |$ в уравнение (2), мы получим интересующее нас ускорение
$ma = mg \frac{h}{L} - \mu mg \frac{l}{L}$,
или (после сокращения на $m$)
$a = g \left ( \frac{h}{L} - \mu \frac{l}{L} \right )$. (4)
Из треугольника $OCE$ видно, что
$\frac{h}{L} = \sin \alpha$ и $\frac{l}{L} = \cos \alpha$.
Поэтому формулу (4) можно переписать в виде
$a = g ( \sin \alpha - \mu \cos \alpha )$.
Из этой формулы следует, что когда коэффициент трения равен нулю (т. е. силой трения можно пренебречь),
$a = g \sin \alpha$.