Само по себе тело вверх, как известно, не движется. Его нужно «бросить», т. е. сообщить ему некоторую начальную скорость $\vec{v}_{0}$, направленную по вертикали вверх.
Брошенное вверх тело движется, как показывает опыт, с таким же ускорением, как и свободно падающее тело. Это ускорение равно $\vec{g}$ и направлено вертикально вниз. Движение тела, брошенного вверх, - это тоже прямолинейное равноускоренное движение, и формулы, которые были написаны для свободного падения тела, годны и для описания движения тела, брошенного вверх. Но при написании формул надо учесть, что вектор ускорения направлен против вектора начальной скорости: скорость тела по абсолютному значению не увеличивается, а уменьшается. Поэтому, если ось координат направить вверх, проекция начальной скорости $\vec{v}_{0}$ будет положительна, а проекция ускорения $\vec{g}$ - отрицательна, и формулы примут вид:
$v = v_{0} - gt$, (1)
$h = v_{0}t - \frac{gt^{2} }{2}$. (2)
Так как тело, брошенное вверх, движется с уменьшающейся скоростью, то наступит такой момент, когда скорость станет равной нулю. В этот момент тело будет находиться на максимальной высоте. Подставив в формулу (1) значение и $v = 0$, получим:
$v_{0} = gt$.
Отсюда можно найти время, которое требуется для того, чтобы тело поднялось до максимальной высоты:
$t = \frac{v_{0} }{g}$.
Максимальную высоту определяем из формулы (2).
Подставив в формулу (2) $t = \frac{v_{0} }{g}$, получим
$h_{max} = v_{0} \frac{v_{0} }{g} - \frac{ g \frac{v_{0}^{2} }{g^{2} } }{2} = \frac{v_{0}^{2} }{g} - \frac{v_{0}^{2} }{2g} = \frac{v_{0}^{2} }{2g}$.
После того как тело достигнет высоты $h_{max}$, оно начнет падать вниз; проекция его скорости станет отрицательной, а по абсолютной величине будет возрастать (см. формулу 1), высота же будет уменьшаться со временем согласно формуле (2) $\left ( при ~ t > \frac{v_{0} }{g} \right )$.
Пользуясь формулами (1) и (2), легко убедиться в том, что скорость тела в момент его падения на землю или вообще туда, откуда оно было брошено (при $h = 0$), равна по абсолютной величине начальной скорости $v_{0}$, а время падения тела равно времени его подъема.
Падение тела можно рассматривать и отдельно как свободное падение тела с высоты $h_{max}$. Тогда мы можем воспользоваться формулами, приведенными в предыдущем параграфе.
Задача. Тело брошено вертикально вверх со скоростью 25 м/сек. Какова скорость тела через 4 сек? Какое перемещение совершит тело и какова длина пути, пройденного телом за это время?
Решение. Скорость тела вычисляется по формуле
$v = v_{0} - gt$.
К исходу четвертой секунды
$v = 25 \frac{м}{сек} - 9,8 \frac{м}{ сек^{2} } \cdot 4 сек \approx - 15 \frac{м}{сек}$.
Знак «-» означает, что скорость направлена против координатной оси, направленной вверх, т. е. в конце четвертой секунды тело уже двигалось вниз, пройдя через высшую точку своего подъема.
Величину перемещения тела найдем по формуле
$h = v_{0}t - \frac{gt^{2} }{2}$,
откуда $h = 25 \frac{м}{сек} \cdot 4 сек - \frac{9,8 \frac{м}{сек^{2} } \cdot 16 сек^{2} }{2} \approx 20 м$.
Это перемещение отсчитывается от того места, откуда тело было брошено. Но в этот момент тело уже двигалось вниз. Поэтому длина пройденного телом пути равна максимальной Еысоте подъема плюс расстояние, на которое оно успело опуститься вниз:
$l = h_{max} + (h_{max} - h) = 2h_{max} - h$.
Значение $h_{max}$ вычислим по формуле
$h_{max} = \frac{v_{0}^{2} }{2g}$.
Отсюда $l = 2 \frac{v_{0}^{2} }{2g} - h = \frac{v_{0}^{2} }{g} - h$.
Подставив значения $v_{0} = 25 \frac{м}{сек}, h = 20 м$, получаем:
$l = \frac{625 \frac{м^{2} }{с^{2} } }{9,8 \frac{м}{с^{2} } } - 20 м \approx 42,5 м$.