Алгебраическое выражение в записи которого наряду с действиями сложения, вычитания и умножения используют также деление на буквенные выражения, называется дробным алгебраическим выражением. Таковы, например, выражения
$a + \frac{1}{a} - 2; \frac{x}{x+1} - \frac{x^{2}}{x-1}; \frac{x^{2}+ax+a^{2}}{(x-a)^{2}}$. (1)
Алгебраической дробью мы называем алгебраическое выражение, имеющее вид частного от деления двух целых алгебраических выражений (например, одночленов или многочленов). Таковы, например, выражения
$\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2} – b^{2}}; \frac{6abx}{ab+ax+bx}; \frac{ab}{4cd}$
(и третье из выражений (1)).
Тождественные преобразования дробных алгебраических выражений имеют по большей части своей целью представить их в виде алгебраической дроби. Для отыскания общего знаменателя используется разложение на множители знаменателей дробей— слагаемых—с целью отыскания их наименьшего общего кратного. При сокращении алгебраических дробей может нарушаться строгая тождественность выражений: необходимо исключать значения величин, при которых множитель, на который производится сокращение, обращается в нуль.
Приведем примеры тождественных преобразований дробных алгебраических выражений.
Пример 1. Упростить выражение
$\frac{2x^{2}}{x^{2}-a^{2}} + \frac{a}{x+a} + \frac{x}{a-x}$
Решение. Все слагаемые можно привести к общему знаменателю $x^{2} – a^{2}$ (удобно при этом изменить знак в знаменателе последнего слагаемого и знак перед ним):
$\frac{2x^{2}}{x^{2}-a^{2}} + \frac{a}{x+a} + \frac{x}{a-x} = \frac{2x^{2}}{x^{2} – a^{2}} + \frac{a(x-a)}{x^{2} – a^{2}} - \frac{x(x+a)}{x^{2} – a^{2}} = \frac{2x^{2} + ax – a^{2} – x^{2} - ax}{x^{2} – a^{2}} = \frac{x^{2}-a^{2}}{x^{2} – a^{2}} = 1$
Наше выражение равно единице при всех значениях $x$, кроме $x=a$ и $x=-a$ (при этих значениях оно не определено и сокращение дроби - $\frac{x^{2} - a^{2}}{x^{2} – a^{2}}$ незаконно).
Пример 2. Представить в виде алгебраической дроби выражение
$\frac{b^{2}}{a(a+b)} + \frac{ab}{a^{2} – ab + b^{2}} + \frac{b^{3} – a^{2}b + a^{3}}{a^{3}+b^{3}}$
Решение. За общий знаменатель можно принять выражение $a(a^{3}+b^{3})$. Находим последовательно:
$\frac{b^{2}}{a(a+b)} + \frac{ab}{a^{2} – ab + b^{2}} + \frac{b^{3} + a^{2}b + a^{3}}{a^{3} + b^{3}} = \frac{b^{2}(a^{2} – ab +b^{2}) + aba(a+b) + a(b^{3} – a^{2}b + a^{3})}{ a(a^{3} + b^{3})} = \frac{}{ a(a^{3} + b^{3})} = \frac{(a^{2} + b^{2})^{2}}{a(a^{3} + b^{3})}$.